Prove que se A,+, \cdot é um anel qualquer, então para quaisquer x, y, z \in A :
-(x \cdot y)=(-x) \cdot y=x \cdot(-y)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: A,+,\cdot é um anel qualquer. Ou seja, A é um conjunto com uma operação de adição + que faz de A um grupo abeliano (tem elemento neutro 0 e inversos aditivos), e uma operação de multiplicação \cdot que é associativa e satisfaz as leis distributivas: a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c,\qquad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot cpara todos a,b,c\in A.
  • Queremos provar, para quaisquer x,y,z\in A, que -(x\cdot y)=(-x)\cdot y = x\cdot(-y).
Neste problema vamos usar apenas as propriedades elementares de um anel: existência do 0, inversos aditivos, e distributividade. Vou fazer isso em passos bem pequenos e intuitivos.

Passo 2

Lema auxiliar: provar que 0\cdot y = 0 e y\cdot 0 = 0 para todo y\in A.
Prova: usando distributividade,
0\cdot y = (0+0)\cdot y = 0\cdot y + 0\cdot y.
Agora, somando o inverso aditivo de 0\cdot y em ambos os lados (ou seja, adicionando - (0\cdot y)), obtemos
0 = 0\cdot y.
A mesma argumentação aplicando a distributividade pelo lado direito dá
y\cdot 0 = y\cdot(0+0)=y\cdot 0 + y\cdot 0,
e então subtraindo y\cdot 0 concluímos y\cdot 0 = 0.
Comentário rápido sobre por que esse truque funciona: se w = w + w em um grupo abeliano, somando o inverso de w obtemos 0 = w.

Passo 3

Mostrar que ( -x)\cdot y é o inverso aditivo de x\cdot y, isto é, que
x\cdot y + ( -x)\cdot y = 0.
Prova: como x + ( -x ) = 0, aplicando multiplicação à direita por y e a distributividade obtemos
(x + ( -x ))\cdot y = 0\cdot y.
Pelo Lema do passo anterior, 0\cdot y = 0. Expandindo o lado esquerdo pela distributividade:
x\cdot y + ( -x)\cdot y = 0.
Logo ( -x)\cdot y é um elemento que somado a x\cdot y 0; isto é, ( -x)\cdot y é um inverso aditivo de x\cdot y.

Passo 4

Mostrar que x\cdot( -y ) também é o inverso aditivo de x\cdot y, ou seja,
x\cdot y + x\cdot( -y ) = 0.
Prova: como y + ( -y ) = 0, multiplicando à esquerda por x e usando distributividade,
x\cdot( y + ( -y )) = x\cdot 0.
Pelo Lema do passo 2, x\cdot 0 = 0. Expandindo o lado esquerdo:
x\cdot y + x\cdot( -y ) = 0.
Assim x\cdot( -y ) é também um inverso aditivo de x\cdot y.

Passo 5

Usar unicidade do inverso aditivo para concluir a igualdade pedida.
Explicação da unicidade (curta): se u e v são ambos inversos aditivos de w (isto é, w+u=0 e w+v=0), então
u = u + 0 = u + (w+v) = (u+w) + v = 0 + v = v.
Portanto o inverso aditivo de um elemento é único.
Aplicando isso ao nosso caso: tanto ( -x)\cdot y quanto x\cdot( -y ) são inversos aditivos de x\cdot y. Pela unicidade, eles coincidem entre si e coincidem com o inverso aditivo de x\cdot y, isto é, com -(x\cdot y).

Resposta

-(x\cdot y)=(-x)\cdot y=x\cdot(-y)

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