Prove que se
é um anel qualquer, então para quaisquer
:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
é um anel qualquer. Ou seja, é um conjunto com uma operação de adição que faz de um grupo abeliano (tem elemento neutro e inversos aditivos), e uma operação de multiplicação que é associativa e satisfaz as leis distributivas: para todos . - Queremos provar, para quaisquer
, que
Neste problema vamos usar apenas as propriedades elementares de um anel: existência do
, inversos aditivos, e distributividade. Vou fazer isso em passos bem pequenos e intuitivos.
Passo 2
Lema auxiliar: provar que
e
para todo
.
Prova: usando distributividade,
Agora, somando o inverso aditivo de
em ambos os lados (ou seja, adicionando
), obtemos
A mesma argumentação aplicando a distributividade pelo lado direito dá
e então subtraindo
concluímos
.
Comentário rápido sobre por que esse truque funciona: se
em um grupo abeliano, somando o inverso de
obtemos
.
Passo 3
Mostrar que
é o inverso aditivo de
, isto é, que
Prova: como
, aplicando multiplicação à direita por
e a distributividade obtemos
Pelo Lema do passo anterior,
. Expandindo o lado esquerdo pela distributividade:
Logo
é um elemento que somado a
dá
; isto é,
é um inverso aditivo de
.
Passo 4
Mostrar que
também é o inverso aditivo de
, ou seja,
Prova: como
, multiplicando à esquerda por
e usando distributividade,
Pelo Lema do passo 2,
. Expandindo o lado esquerdo:
Assim
é também um inverso aditivo de
.
Passo 5
Usar unicidade do inverso aditivo para concluir a igualdade pedida.
Explicação da unicidade (curta): se
e
são ambos inversos aditivos de
(isto é,
e
), então
Portanto o inverso aditivo de um elemento é único.
Aplicando isso ao nosso caso: tanto
quanto
são inversos aditivos de
. Pela unicidade, eles coincidem entre si e coincidem com o inverso aditivo de
, isto é, com
.