(Fluxo em superfície cilíndrica lateral) Considere \mathbf{F}(x, y, z)=\langle 0, y, z\rangle e a superfície lateral do cilindro y^{2}+z^{2}=4 com 0 \leq x \leq 3, orientada para fora. Calcule o fluxo \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
da campo \mathbf{F}(x,y,z)=\langle0,y,z\rangle através da superfície lateral do cilindro y^{2}+z^{2}=4, 0\le x\le3, com orientação para fora.
Conteúdo: integral de superfície (fluxo) em superfície parametrizada. Vamos parametrizar o cilindro e usar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Parametrização do cilindro:
\mathbf{r}(x,\theta)=\bigl(x,\,2\cos\theta,\,2\sin\theta\bigr),
com 0\le x\le3 e 0\le\theta\le2\pi.
O vetor normal unitário para fora é
\mathbf{n}=\bigl<0,\tfrac{y}{2},\tfrac{z}{2}\bigr>
porque em um cilindro de raio 2 o vetor radial é \langle0,y,z\rangle e a norma de \langle0,y,z\rangle vale 2.

Passo 3

Em cada ponto do cilindro temos y^{2}+z^{2}=4, logo
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =\langle0,y,z\rangle\cdot\bigl<0,\tfrac{y}{2},\tfrac{z}{2}\bigr> =\tfrac{y^{2}+z^{2}}{2} =\tfrac{4}{2} =2.
A área elemento é dS=2\,d\theta\,dx. Portanto
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =2\cdot(2\,d\theta\,dx) =4\,d\theta\,dx.

Passo 4

Integramos em x\in[0,3] e \theta\in[0,2\pi]:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta\,dx =4\cdot(2\pi)\cdot3 =24\pi.

Resposta

24\pi

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