Sejam
e
campos vetoriais diferenciáveis e sejam
e
constantes reais arbitrárias. Verifique as identidades a seguir.
e
campos vetoriais diferenciáveis e sejam
Passo 1
O enunciado pede para verificar a propriedade de linearidade do rotacional (curl) sobre combinações lineares de campos vetoriais. O conteúdo aqui é cálculo vetorial e vamos usar a definição de rotacional em coordenadas cartesianas e a linearidade da derivada parcial.
Passo 2
Denotemos
e
.
Então
Então
Passo 3
Lembrando a definição de rotacional, para um campo
temos
Passo 4
Aplicando ao campo
e usando que a derivada parcial é linear, por exemplo no primeiro componente:
Fazendo o mesmo para os outros dois componentes, obtemos exatamente
Passo 5
Como cada componente do rotacional de
coincide com a combinação
vezes o rotacional de
mais
vezes o rotacional de
, a identidade está verificada.