Seja \mathbf{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o campo vetorial definido por
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{y+2 z}, x e^{y+2 z}, 2 x e^{y+2 z}\right)
Calcular um potencial de \mathbf{F}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(e^{y+2z},\; x e^{y+2z},\; 2x e^{y+2z}\bigr)
e pede para calcular um potencial de \mathbf{F}, ou seja, encontrar uma função \varphi(x,y,z) tal que
\nabla\varphi(x,y,z)=\mathbf{F}(x,y,z).
Informações relevantes dada no enunciado:
  • Componentes do campo: F_1(x,y,z)=e^{y+2z}, F_2(x,y,z)=x e^{y+2z}, F_3(x,y,z)=2x e^{y+2z}.
  • O domínio natural é todo \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que é um potencial? É uma função \varphi(x,y,z) cuja derivada parcial em cada coordenada coincide com a componente correspondente de \mathbf{F}. Explicitamente:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_1,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=F_2,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=F_3.
Estratégia (explicação didática): primeiro verifico se \mathbf{F} é conservativo (pois isso garante existência local/global de potencial em \mathbb{R}^3). Para um campo suficientemente suave, uma condição prática é calcular o rotacional (curl). Se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e o domínio é simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^3 é), então existe \varphi. Depois integro as equações parciais de forma sequencial: integrar \partial\varphi/\partial x em x e ajustar com funções “constantes” que dependem das outras variáveis, e em seguida determinar essas funções usando as outras equações parciais.

Passo 3

Calculo o rotacional para checar se ele é nulo. Uso a fórmula
\nabla\times\mathbf{F}=\Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).
Calculo cada derivada:
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x e^{y+2z}\bigr)=2x e^{y+2z}, \quad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x e^{y+2z}\bigr)=x\cdot 2 e^{y+2z}=2x e^{y+2z},
logo a primeira componente do rotacional é 2x e^{y+2z}-2x e^{y+2z}=0.
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{y+2z}\bigr)=2 e^{y+2z}, \quad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x e^{y+2z}\bigr)=2 e^{y+2z},
logo a segunda componente é 2 e^{y+2z}-2 e^{y+2z}=0.
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{y+2z}\bigr)=e^{y+2z}, \quad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y+2z}\bigr)=e^{y+2z},
logo a terceira componente é e^{y+2z}-e^{y+2z}=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Como o domínio é \mathbb{R}^3 (simplesmente conexo) e \mathbf{F} é suave, existe um potencial \varphi.

Passo 4

Agora encontro \varphi integrando as equações parciais. Começo por
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_1=e^{y+2z}.
Integro em relação a x, tratando y,z como constantes. A integral de e^{y+2z} em x é x e^{y+2z} mais uma “constante” de integração que pode depender de y e z. Ou seja,
\varphi(x,y,z)=x e^{y+2z}+g(y,z),
onde g é uma função a determinar.
Explicação didática: ao integrar uma derivada parcial em x, a “constante” de integração pode ser função das outras variáveis, porque \partial/\partial x de qualquer função g(y,z) é zero.

Passo 5

Uso a segunda equação \partial\varphi/\partial y=F_2. Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{y+2z}+g(y,z)\bigr) = x e^{y+2z} + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Mas deve ser igual a F_2=x e^{y+2z}. Assim
x e^{y+2z}+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=x e^{y+2z}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=0.
Conclusão: g não depende de y; portanto g é função apenas de z:
g(y,z)=h(z).

Passo 6

Uso a terceira equação \partial\varphi/\partial z=F_3. Primeiro calcule \partial\varphi/\partial z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x e^{y+2z}+h(z)\bigr) =2x e^{y+2z} + h'(z).
Deve ser igual a F_3=2x e^{y+2z}. Portanto
2x e^{y+2z}+h'(z)=2x e^{y+2z}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Logo h é constante: h(z)=C, com C constante real.

Passo 7

Portanto um potencial (qualquer potencial difere por constante) é
\varphi(x,y,z)=x e^{y+2z}+C.
Verificação rápida (didática): calcular \nabla\varphi dá exatamente as componentes de \mathbf{F}:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=e^{y+2z},\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x e^{y+2z},\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2x e^{y+2z}.
Tudo confere.

Resposta

\varphi(x,y,z)=x e^{y+2z}+C, onde C é constante real.

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