Seja
o campo vetorial definido por
Calcular um potencial de
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para calcular um potencial de
, ou seja, encontrar uma função
tal que
Informações relevantes dada no enunciado:
- Componentes do campo:
, , . - O domínio natural é todo
.
Passo 2
O que é um potencial? É uma função
cuja derivada parcial em cada coordenada coincide com a componente correspondente de
. Explicitamente:
Estratégia (explicação didática): primeiro verifico se
é conservativo (pois isso garante existência local/global de potencial em
). Para um campo suficientemente suave, uma condição prática é calcular o rotacional (curl). Se
e o domínio é simplesmente conexo (aqui
é), então existe
. Depois integro as equações parciais de forma sequencial: integrar
em
e ajustar com funções “constantes” que dependem das outras variáveis, e em seguida determinar essas funções usando as outras equações parciais.
Passo 3
Calculo o rotacional para checar se ele é nulo. Uso a fórmula
Calculo cada derivada:
logo a primeira componente do rotacional é
.
logo a segunda componente é
.
logo a terceira componente é
.
Portanto
Como o domínio é
(simplesmente conexo) e
é suave, existe um potencial
.
Passo 4
Agora encontro
integrando as equações parciais. Começo por
Integro em relação a
, tratando
como constantes. A integral de
em
é
mais uma “constante” de integração que pode depender de
e
. Ou seja,
onde
é uma função a determinar.
Explicação didática: ao integrar uma derivada parcial em
, a “constante” de integração pode ser função das outras variáveis, porque
de qualquer função
é zero.
Passo 5
Uso a segunda equação
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Mas deve ser igual a
. Assim
Conclusão:
não depende de
; portanto
é função apenas de
:
Passo 6
Uso a terceira equação
. Primeiro calcule
:
Deve ser igual a
. Portanto
Logo
é constante:
, com
constante real.
Passo 7
Portanto um potencial (qualquer potencial difere por constante) é
Verificação rápida (didática): calcular
dá exatamente as componentes de
:
Tudo confere.