Seja
o campo vetorial
(a) Demosntre que
é um campo vetorial conservativo.
(b) Se
é o caminho seccionalmete de classe
com ponto inicial em
e ponto final em
, calcular a integral de linha
.
(b) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Campo vetorial dado:
- Caminho
é qualquer caminho seccionalmente de classe com ponto inicial em e ponto final em .
O enunciado pede:
- (a) Demonstrar que
é um campo vetorial conservativo. - (b) Calcular a integral de linha
entre os pontos indicados.
Passo 2
O que significa, na prática, mostrar que um campo em
é conservativo? Vou explicar de forma direta e intuitiva.
-
Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial tal que Ou seja,e . -
Um teste prático muito usado em
(quando o domínio é todo , que é simplesmente conexo) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem: Se isso acontecer em todo, então existe com . Vou aplicar esse teste ao nosso campo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais cruzadas explicitamente.
-
Primeiro identifique
e : -
Derivada parcial de
em relação a : porquee é tratado como constante em relação a . -
Derivada parcial de
em relação a : poise há um sinal negativo inicial. -
Conclusão dessas contas:Como a igualdade vale em todo
(domínio simplesmente conexo), é conservativo — existe uma função potencial .
Passo 4
Agora vou encontrar explicitamente a função potencial
(isso também é útil para calcular a integral de linha). O procedimento é padrão: integrar
em relação a
e ajustar uma função de
.
- Integro
em relação a : No integrando, é constante relativamente a , então E . Assim onde é uma função arbitrária de (a “constante” de integração que pode depender de ).
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
-
Calculo
a partir da expressão encontrada: -
Mas sabemos que
deve ser igual a . Igualando: Cancelando os termos iguais, obtemos. Integrando em : ondeé constante real arbitrária (pode ser escolhida zero sem perda de generalidade). -
Portanto uma função potencial conveniente é(ou, se quiser, mais geral
).
Passo 6
Explicar como usar a função potencial para calcular a integral de linha.
-
Para um campo conservativo
, a integral de linha entre dois pontos e ao longo de qualquer curva (seccionalmente ) é dada pelo teorema fundamental para gradientes: Ou seja, a integral depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho. -
No nosso caso, ponto inicial
e ponto final . Vou calcular .
Passo 7
Calcular
nos dois pontos e subtrair, com contas passo a passo.
-
Primeiro usar
. -
Avaliar em
: Lembrando que, obtemos -
Avaliar em
: Sabendo quee , obtemos -
Subtrair para obter a integral:Portanto
-
Uma forma compacta é
]
Resposta
(a) Sim.
é conservativo.
(b)
(b)