Seja \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=\left(e^{x} \cos y,-e^{x} \operatorname{sen} y\right), e seja (a, b) \in \mathbb{R}^{2}. Se \boldsymbol{\lambda} é o caminho seccionalmente de classe \mathscr{C}^{1} com ponto inicial (1,0) e ponto final (a, b), calcular o limite
\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F} \cdot d \boldsymbol{\lambda}
Sugestão: f(x, y)=e^{x} \cos y é uma função potencial de \mathbf{F}.
Passo 1
O enunciado nos dá:
O campo vetorial \mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por \mathbf{F}(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\operatorname{sen}y\bigr).
Um ponto inicial fixo (1,0) e um ponto final (a,b)\in\mathbb{R}^2.
Um caminho \boldsymbol{\lambda} seccionalmente de classe \mathscr{C}^1 que vai de (1,0) a (a,b).
A pergunta é:
Calcular
Se \mathbf{F}=\nabla f em um domínio onde vale a propriedade usual (por exemplo \mathbb{R}^2 inteiro, que é simplesmente conexo) e \boldsymbol{\lambda} é um caminho seccionalmente \mathscr{C}^1, então a integral de linha é independente do caminho e vale a fórmula fundamental:
Isto é uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente (também chamado Teorema do Gradiente ou Teorema da Linha Independente do Caminho).
Passo 3
Verificar explicitamente que f(x,y)=e^{x}\cos y é potencial de \mathbf{F}.
Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\cos y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-e^{x}\sin y.
Observação: em português \sin corresponde a \operatorname{sen}, então -e^{x}\sin y coincide com o segundo componente dado -e^{x}\operatorname{sen}y.
Portanto \nabla f(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\sin y\bigr)=\mathbf{F}(x,y). Logo \mathbf{F} é conservativo e f é uma função potencial válida em todo \mathbb{R}^2.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Gradiente para calcular a integral de linha em termos da função potencial.