Seja \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=\left(e^{x} \cos y,-e^{x} \operatorname{sen} y\right), e seja (a, b) \in \mathbb{R}^{2}. Se \boldsymbol{\lambda} é o caminho seccionalmente de classe \mathscr{C}^{1} com ponto inicial (1,0) e ponto final (a, b), calcular o limite
\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F} \cdot d \boldsymbol{\lambda}
Sugestão: f(x, y)=e^{x} \cos y é uma função potencial de \mathbf{F}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por \mathbf{F}(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\operatorname{sen}y\bigr).
  • Um ponto inicial fixo (1,0) e um ponto final (a,b)\in\mathbb{R}^2.
  • Um caminho \boldsymbol{\lambda} seccionalmente de classe \mathscr{C}^1 que vai de (1,0) a (a,b).
    A pergunta é:
    Calcular
\lim_{a\to -\infty}\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda}.
Observações importantes extraídas do enunciado (que vamos usar depois):
  • O enunciado sugere que f(x,y)=e^{x}\cos y é uma função potencial de \mathbf{F}.
  • O parâmetro que tende a -\infty é a (ou seja, a coordenada x do ponto final). A coordenada b será tratada como fixa no limite.

Passo 2

Entender o que significa ter uma função potencial e por que isso facilita a integral de linha.
  • Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é potencial de \mathbf{F} se \nabla f=\mathbf{F}. Aqui \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Se \mathbf{F}=\nabla f em um domínio onde vale a propriedade usual (por exemplo \mathbb{R}^2 inteiro, que é simplesmente conexo) e \boldsymbol{\lambda} é um caminho seccionalmente \mathscr{C}^1, então a integral de linha é independente do caminho e vale a fórmula fundamental:
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda}=f\bigl(\text{ponto final}\bigr)-f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).
Isto é uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente (também chamado Teorema do Gradiente ou Teorema da Linha Independente do Caminho).

Passo 3

Verificar explicitamente que f(x,y)=e^{x}\cos y é potencial de \mathbf{F}.
  • Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\cos y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-e^{x}\sin y.
  • Observação: em português \sin corresponde a \operatorname{sen}, então -e^{x}\sin y coincide com o segundo componente dado -e^{x}\operatorname{sen}y.
  • Portanto \nabla f(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\sin y\bigr)=\mathbf{F}(x,y). Logo \mathbf{F} é conservativo e f é uma função potencial válida em todo \mathbb{R}^2.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Gradiente para calcular a integral de linha em termos da função potencial.
  • Como \boldsymbol{\lambda} vai de (1,0) a (a,b),
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda} = f(a,b)-f(1,0).
  • Substituindo f:
f(a,b)-f(1,0)=e^{a}\cos b - e^{1}\cos 0.
  • Usar \cos 0=1 e e^{1}=e, obtemos
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\lambda}=e^{a}\cos b - e.

Passo 5

Calcular o limite pedido quando a\to -\infty.
  • Primeiro notar que para a\to -\infty temos e^{a}\to 0^+.
  • Como |\cos b|\le 1 para qualquer b, vale
\bigl|e^{a}\cos b\bigr|\le e^{a},
e então e^{a}\cos b\to 0 por comparação (ou por continuidade do produto).
  • Portanto
\lim_{a\to -\infty}\left(e^{a}\cos b - e\right)=0 - e = -e.

Resposta

-e

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