Sejam U=\{(x, y) \mid x>0, y>0\} e a>0. Se \boldsymbol{\lambda} é um caminho seccionalmente de classe \mathscr{C}^{1} com ponto inicial (1, \pi) e ponto final \left(\frac{a}{2}, \frac{a \pi}{2}\right), e tal que traço (\boldsymbol{\lambda}) \subset U, calcular o limite
\lim _{a \rightarrow 2} \int_{\boldsymbol{\lambda}}\left(1-\frac{y^{2}}{x^{2}} \cos \frac{y}{x}\right) d x+\left(\operatorname{sen} \frac{y}{x}+\frac{y}{x} \cos \frac{y}{x}\right) d y
Sugestão: f(x, y)=x+y \operatorname{sen} \frac{y}{x} é uma função potencial do campo vetorial na integral de linha.
Passo 1
O enunciado dá:
o domínio U=\{(x,y)\mid x>0,\\ y>0\};
um parâmetro a>0;
um caminho \boldsymbol{\lambda} seccionalmente de classe \mathscr{C}^{1} com ponto inicial (1,\pi) e ponto final \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\pi}{2}\right), com traço contido em U;
é uma função potencial do campo cujo diferencial aparece no integrando. A pergunta é: calcular o limite acima.
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): se um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) tem uma função potencial f definida e de classe \mathscr{C}^{1} em uma região que contém o caminho, então a integral de linha de \mathbf{F} ao longo de qualquer curva que liga dois pontos depende apenas desses extremos. Em fórmulas:
Aqui temos a sugestão de f. Vou verificar explicitamente que \nabla f=(P,Q), o que garante que a integral é a diferença de valores de f nos extremos (teorema fundamental para integrais de linha).
Passo 3
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Temos f(x,y)=x+y\sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr). Tratar y como constante ao derivar em relação a x.
Usa-se a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\cdot\dfrac{d}{dx}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
E \dfrac{d}{dx}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)= -\dfrac{y}{x^{2}} (pois y é constante).
Logo
Isso coincide com o coeficiente de dy no integrando. Assim \nabla f=(P,Q) como desejado.
Passo 5
Conclusão sobre a integral: como f é de classe \mathscr{C}^{1} em U (onde x>0 garante que as expressões y/x e as derivadas são bem definidas) e o traço de \boldsymbol{\lambda} está em U, segue que