Seja
e seja
a elipse
no plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A campo vetorial
. - A curva
é a elipse contida no plano . - A orientação de
é anti-horária quando vista de cima (isto é, no sentido positivo em relação ao eixo ).
O que se pede:
- Calcular
, a integral de linha fechada de ao longo de .
Passo 2
Escolha do método e motivação (explicada de forma simples):
- Vou usar o Teorema de Stokes, que transforma uma integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional. A vantagem é que a curva está num plano e o rotacional de
será simples, tornando a integral mais direta (transforma-se num número vezes a área da região interior). - Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada):
onde
é qualquer superfície orientada com fronteira
e
é a unidade normal compatível com a orientação de
(regra da mão direita).
Passo 3
Calcular o rotacional
.
- Lembrando a definição em componentes:
onde
.
- Aqui
.
Agora cada componente:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Portanto
Passo 4
Escolher a superfície
e a normal
compatível com a orientação de
.
- Tome
como a região plana interior à elipse no plano . - A orientação dada é anti-horária vista de cima, o que corresponde ao versor normal apontando para cima, isto é
. (Regra da mão direita: dedos seguem , polegar indica .)
Passo 5
Avaliar
e reduzir a integral de superfície.
- Produto escalar:
- Note que o integrando é constante igual a
, logo
Passo 6
Calcular a área da região
= interior da elipse
.
- Reescrever a equação em forma padrão:
- Assim os semi-eixos são
(no eixo ) e (no eixo ). - Fórmula conhecida: a área de uma elipse com semi-eixos
e é . (Justificação rápida: mapear o disco unitário por ; o Jacobiano é e a área do disco é .) - Portanto
Passo 7
Calcular a integral final.
- Usando o passo anterior: