Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y,-x, x^{2}+y^{2}\right) e seja C a elipse 4 x^{2}+y^{2}=1 no plano z=2, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=\left(y,-x,x^{2}+y^{2}\right).
  • A curva C é a elipse \;4x^{2}+y^{2}=1\; contida no plano z=2.
  • A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (isto é, no sentido positivo em relação ao eixo z).
O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, a integral de linha fechada de \mathbf{F} ao longo de C.

Passo 2

Escolha do método e motivação (explicada de forma simples):
  • Vou usar o Teorema de Stokes, que transforma uma integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional. A vantagem é que a curva está num plano e o rotacional de \mathbf{F} será simples, tornando a integral mais direta (transforma-se num número vezes a área da região interior).
  • Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada): \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é qualquer superfície orientada com fronteira \partial S=C e \mathbf{n} é a unidade normal compatível com a orientação de C (regra da mão direita).

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}.
  • Lembrando a definição em componentes: \nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right),
onde \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}).
  • Aqui F_{1}=y,\;F_{2}=-x,\;F_{3}=x^{2}+y^{2}.
Agora cada componente:
  • Componente x: \dfrac{\partial F_{3}}{\partial y}-\dfrac{\partial F_{2}}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})-\dfrac{\partial}{\partial z}(-x)=2y-0=2y.
  • Componente y: \dfrac{\partial F_{1}}{\partial z}-\dfrac{\partial F_{3}}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial z}(y)-\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=0-2x=-2x.
  • Componente z: \dfrac{\partial F_{2}}{\partial x}-\dfrac{\partial F_{1}}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-x)-\dfrac{\partial}{\partial y}(y)=-1-1=-2.
Portanto \nabla\times\mathbf{F}=(2y,\,-2x,\,-2).

Passo 4

Escolher a superfície S e a normal \mathbf{n} compatível com a orientação de C.
  • Tome S como a região plana interior à elipse 4x^{2}+y^{2}=1 no plano z=2.
  • A orientação dada é anti-horária vista de cima, o que corresponde ao versor normal apontando para cima, isto é \mathbf{n}=(0,0,1). (Regra da mão direita: dedos seguem C, polegar indica \mathbf{n}.)

Passo 5

Avaliar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} e reduzir a integral de superfície.
  • Produto escalar: (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=(2y,-2x,-2)\cdot(0,0,1)=-2.
  • Note que o integrando é constante igual a -2, logo \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=-2\iint_{S}dS=-2\cdot\text{Área}(S).Á

Passo 6

Calcular a área da região S = interior da elipse 4x^{2}+y^{2}=1.
  • Reescrever a equação em forma padrão: 4x^{2}+y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{(1/4)}+\frac{y^{2}}{1}=1.
  • Assim os semi-eixos são a=\tfrac{1}{2} (no eixo x) e b=1 (no eixo y).
  • Fórmula conhecida: a área de uma elipse com semi-eixos a e b é \pi ab. (Justificação rápida: mapear o disco unitário por x=au,\;y=bv; o Jacobiano é ab e a área do disco é \pi.)
  • Portanto \text{Área}(S)=\pi\cdot a\cdot b=\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot1=\frac{\pi}{2}.Á

Passo 7

Calcular a integral final.
  • Usando o passo anterior: \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=-2\cdot\frac{\pi}{2}=-\pi.

Resposta

-\pi

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