Seja
. Mostre que
não é subespaço vetorial nos caso:
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
A pergunta é: mostrar que
não é um subespaço vetorial de
.
Passo 2
Lembrando a definição (essa é a parte teórica que precisa ficar clara):
Um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se satisfaz, pelo menos, estas duas propriedades fundamentais:
Um subconjunto
- Fechamento para soma: para quaisquer
tem-se . - Fechamento para multiplicação por escalar: para qualquer
e qualquer escalar tem-se .
Basta mostrar que uma dessas propriedades falha para concluir que
não é subespaço. Também é útil lembrar que o vetor nulo
deve pertencer a todo subespaço; aqui verificaremos isso antes de procurar uma falha.
Passo 3
Verificar rapidamente que o vetor nulo está em
:
logo
. Isso mostra que
é não vazio, mas isso não garante que seja subespaço — ainda é necessário o fechamento por soma e por escalar.
Passo 4
Explicar o conceito usado nos contraexemplos: para
, a expressão
é o quadrado da norma euclidiana desse vetor, isto é,
. Assim a condição que define
é
, isto é,
(o bola fechada de raio
centrada na origem).
Passo 5
Construir um contraexemplo para o fechamento por multiplicação escalar (mais simples): tome
Calcular
:
portanto
. Agora considere o escalar
e calcule
:
Calcule a norma ao quadrado de
:
Como
, segue que
. Assim
não é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 6
Opcionalmente, mostrar também falha no fechamento para soma (reforço didático): os vetores
satisfazem
, logo
. Mas
tem
, logo
. Portanto
também não é fechado para soma.
Passo 7
Concluir: como pelo menos uma das propriedades necessárias a um subespaço vetorial falha (na verdade, ambas falham),
não é um subespaço vetorial de
.