Seja \mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}. Mostre que \boldsymbol{W} não é subespaço vetorial nos caso:
\boldsymbol{W}=\left\{(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \in \boldsymbol{R}^{3} / \boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{c}^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbf{V}=\mathbf{R}^{3} e o subconjunto
\mathbf{W}=\left\{(a,b,c)\in\mathbf{R}^{3}\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1\right\}.
A pergunta é: mostrar que \mathbf{W} não é um subespaço vetorial de \mathbf{R}^{3}.

Passo 2

Lembrando a definição (essa é a parte teórica que precisa ficar clara):
Um subconjunto S\subseteq\mathbf{R}^{3} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz, pelo menos, estas duas propriedades fundamentais:
  1. Fechamento para soma: para quaisquer u,v\in S tem-se u+v\in S.
  2. Fechamento para multiplicação por escalar: para qualquer u\in S e qualquer escalar \lambda\in\mathbf{R} tem-se \lambda u\in S.
Basta mostrar que uma dessas propriedades falha para concluir que S não é subespaço. Também é útil lembrar que o vetor nulo 0=(0,0,0) deve pertencer a todo subespaço; aqui verificaremos isso antes de procurar uma falha.

Passo 3

Verificar rapidamente que o vetor nulo está em \mathbf{W}:
0^{2}+0^{2}+0^{2}=0\leq 1,
logo 0\in\mathbf{W}. Isso mostra que \mathbf{W} é não vazio, mas isso não garante que seja subespaço — ainda é necessário o fechamento por soma e por escalar.

Passo 4

Explicar o conceito usado nos contraexemplos: para (a,b,c)\in\mathbf{R}^{3}, a expressão a^{2}+b^{2}+c^{2} é o quadrado da norma euclidiana desse vetor, isto é, \| (a,b,c)\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}. Assim a condição que define \mathbf{W} é \|v\|^{2}\leq 1, isto é, \|v\|\leq 1 (o bola fechada de raio 1 centrada na origem).

Passo 5

Construir um contraexemplo para o fechamento por multiplicação escalar (mais simples): tome
v=(1,0,0).
Calcular \|v\|^{2}:
\|v\|^{2}=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1,
portanto v\in\mathbf{W}. Agora considere o escalar \lambda=2 e calcule \lambda v:
\lambda v = 2v = (2,0,0).
Calcule a norma ao quadrado de 2v:
\|2v\|^{2}=2^{2}+0^{2}+0^{2}=4.
Como 4\not\leq 1, segue que 2v\notin\mathbf{W}. Assim \mathbf{W} não é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 6

Opcionalmente, mostrar também falha no fechamento para soma (reforço didático): os vetores
u=(1,0,0),\qquad v=(1,0,0)
satisfazem \|u\|^{2}=\|v\|^{2}=1, logo u,v\in\mathbf{W}. Mas
u+v=(2,0,0)
tem \|u+v\|^{2}=4>1, logo u+v\notin\mathbf{W}. Portanto \mathbf{W} também não é fechado para soma.

Passo 7

Concluir: como pelo menos uma das propriedades necessárias a um subespaço vetorial falha (na verdade, ambas falham), \mathbf{W} não é um subespaço vetorial de \mathbf{R}^{3}.

Resposta

\mathbf{W} não é subespaço vetorial (por exemplo, v=(1,0,0)\in\mathbf{W} mas 2v\notin\mathbf{W}, logo falha o fechamento por multiplicação por escalar).

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