- Seja
a normal unitária exterior da casca elíptica
e seja
Encontre o valor de
Passo 1
O enunciado pede
em que
é a meia casca elíptica
e
é a normal unitária exterior. Vamos usar o Teorema de Stokes para converter essa integral de superfície numa integral de linha ao longo da fronteira de
.
Passo 2
A fronteira
é dada pela interseção de
com o plano
, isto é a elipse
Pelo Teorema de Stokes,
onde a orientação de
é tal que, visto de cima (eixo
), o caminho é anti-horário, pois a normal exterior tem componente
nesta metade da casca.
Passo 3
Sobre
temos
, logo
Como
,
Portanto
Passo 4
Para calcular
aplicamos o Teorema de Green na região
interna à elipse:
com
e
. Assim
Logo
Passo 5
A região
é simétrica em
, então
, e
.
Portanto
Portanto
Pelo Teorema de Stokes, esse é o valor da integral de superfície desejada.