1. Um projétil é disparado do solo com um ângulo de 45^{\circ} Qual deve ser a velocidade inicial do projétil para atingir o topo de uma torre de 120 m que fica a 180 m de distância?
Rpta. v_{0}=5295

Passo 1

O enunciado diz: um projétil é disparado do solo com ângulo \,45^\circ. Queremos saber qual deve ser a velocidade inicial \,v_0 para que o projétil atinja o topo de uma torre que tem altura \,120 m e cuja base está a \,180 m de distância do ponto de disparo.
Informações dadas (listadas claramente):
\bullet ângulo de lançamento: \,\theta = 45^\circ
\bullet distância horizontal até a torre: \,x = 180 m
\bullet altura do topo da torre: \,y = 120 m
\bullet ponto de lançamento no solo (altura inicial \,y_0 = 0)
\bullet aceleração da gravidade (usaremos) \,g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2
O que o problema pede: determinar \,v_0 tal que, ao percorrer horizontalmente \,x=180 m, a altura do projétil seja \,y=120 m.

Passo 2

Vamos escrever as equações do movimento do projétil (movimento uniformemente acelerado na vertical e movimento uniforme na horizontal). Primeiro, decompor a velocidade inicial nos eixos x e y:
v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui \,v_{0x} é a componente horizontal da velocidade inicial e \,v_{0y} é a componente vertical. As equações do movimento são:
x(t) = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\;t
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g t^2 = v_0\sin\theta\;t - \tfrac{1}{2}g t^2.
Explicando: a posição horizontal cresce linearmente com t porque não há aceleração horizontal (desprezando ar); a posição vertical cresce pela componente inicial e é reduzida pela gravidade \,g.

Passo 3

Para relacionar x e y sem o tempo t, isolamos t da equação horizontal:
t = \frac{x}{v_0\cos\theta}.
Substituiremos esse t na equação de y(t) para obter uma equação que envolva apenas v_0, x, y, \theta e g.

Passo 4

Substituindo o tempo em y(t) obtemos:
y = v_0\sin\theta\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right) - \tfrac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2.
Simplificando a primeira parcela (o v_0 cancela) e rearranjando:
y = x\tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}.
Agora isolamos v_0^2. Passos algébricos: movemos a fração para o outro lado e invertendo obtemos
\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta} = x\tan\theta - y.
Portanto
v_0^2 = \frac{g x^2}{2\cos^2\theta\,(x\tan\theta - y)}.
Comentário importante: para essa expressão fazer sentido fisicamente, precisamos de x\tan\theta - y > 0 (caso contrário o projétil não alcança essa altura naquele alcance com aquele ângulo).

Passo 5

Agora vamos aplicar os números. Para \theta=45^\circ temos \cos45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} e \tan45^\circ = 1. Logo \cos^2 45^\circ = \dfrac{1}{2}. Substituindo \,x=180, \,y=120 e \,g=9{,}8:
x\tan\theta - y = 180\cdot 1 - 120 = 60.
E o numerador:
g x^2 = 9{,}8 \times 180^2 = 9{,}8 \times 32400 = 317520.
O denominador da fórmula de \,v_0^2 é
2\cos^2\theta\,(x\tan\theta - y) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 60 = 60.
Portanto
v_0^2 = \frac{317520}{60} = 5292.

Passo 6

Agora extraímos a raiz quadrada para obter \,v_0:
v_0 = \sqrt{5292}\approx 72{,}78\\ \text{m/s}.
Arredondando com uma casa decimal fica \,v_0 \approx 72{,}8\\ \text{m/s}.

Passo 7

Cheque rápido (verificação numérica): calcula-se o tempo até x=180:
v_{0x}=v_0\cos45^\circ\approx 72{,}78\cdot 0{,}7071\approx 51{,}45\\ \text{m/s},
t=\frac{180}{51{,}45}\approx 3{,}50\\ \text{s}.
Altura nesse tempo:
y = v_0\sin45^\circ\;t - \tfrac{1}{2}g t^2 \approx 51{,}45\cdot 3{,}50 - 4{,}9\cdot (3{,}50)^2 \approx 180{,}07 - 59{,}93 \approx 120{,}14\\ \text{m},
pequena diferença por arredondamento, confirma que o valor de \,v_0 encontrado é consistente.

Passo 8

Resumo final e incentivo: tirando toda a matemática chata, a ideia é decompor v_0, usar x para achar o tempo e substituir em y. A fórmula final que usamos foi
v_0^2=\frac{g x^2}{2\cos^2\theta\,(x\tan\theta - y)},
e plugando os números chegamos ao resultado abaixo — manda ver na prova, você consegue!

Resposta

v_0 \approx 72{,}8\\ \text{m/s}

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