- Um projétil é disparado do solo com um ângulo de
Qual deve ser a velocidade inicial do projétil para atingir o topo de uma torre de 120 m que fica a 180 m de distância?
Rpta.
Passo 1
O enunciado diz: um projétil é disparado do solo com ângulo
. Queremos saber qual deve ser a velocidade inicial
para que o projétil atinja o topo de uma torre que tem altura
m e cuja base está a
m de distância do ponto de disparo.
Informações dadas (listadas claramente):
ângulo de lançamento:
distância horizontal até a torre:
m
altura do topo da torre:
m
ponto de lançamento no solo (altura inicial
)
aceleração da gravidade (usaremos)
Informações dadas (listadas claramente):
O que o problema pede: determinar
tal que, ao percorrer horizontalmente
m, a altura do projétil seja
m.
Passo 2
Vamos escrever as equações do movimento do projétil (movimento uniformemente acelerado na vertical e movimento uniforme na horizontal). Primeiro, decompor a velocidade inicial nos eixos
e
:
Aqui
é a componente horizontal da velocidade inicial e
é a componente vertical. As equações do movimento são:
Explicando: a posição horizontal cresce linearmente com
porque não há aceleração horizontal (desprezando ar); a posição vertical cresce pela componente inicial e é reduzida pela gravidade
.
Passo 3
Para relacionar
e
sem o tempo
, isolamos
da equação horizontal:
Substituiremos esse
na equação de
para obter uma equação que envolva apenas
,
,
,
e
.
Passo 4
Substituindo o tempo em
obtemos:
Simplificando a primeira parcela (o
cancela) e rearranjando:
Agora isolamos
. Passos algébricos: movemos a fração para o outro lado e invertendo obtemos
Portanto
Comentário importante: para essa expressão fazer sentido fisicamente, precisamos de
(caso contrário o projétil não alcança essa altura naquele alcance com aquele ângulo).
Passo 5
Agora vamos aplicar os números. Para
temos
e
. Logo
. Substituindo
,
e
:
E o numerador:
O denominador da fórmula de
é
Portanto
Passo 6
Agora extraímos a raiz quadrada para obter
:
Arredondando com uma casa decimal fica
.
Passo 7
Cheque rápido (verificação numérica): calcula-se o tempo até
:
Altura nesse tempo:
pequena diferença por arredondamento, confirma que o valor de
encontrado é consistente.
Passo 8
Resumo final e incentivo: tirando toda a matemática chata, a ideia é decompor
, usar
para achar o tempo e substituir em
. A fórmula final que usamos foi
e plugando os números chegamos ao resultado abaixo — manda ver na prova, você consegue!