Seja g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} a funçāo definida por g(x)=x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) se x \neq 0 e g(0)=0.
(a) Mostre que g é diferenciável em todo x \in \mathbb{R}.
(b) Mostre que g^{\prime} nāo é uma funçāo limitada em [-1,1]. Conclua que g^{\prime} nāo é uma funçāo contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[g(x)= \begin{cases} x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right), & x\neq 0,\\[6pt] 0, & x=0. \end{cases}
O que nos pedem:
  1. Mostrar que g\] é diferenciável para todo \(x\in\mathbb{R}.
  2. Mostrar que g' não é uma função limitada em [-1,1] e, a partir disso, concluir que g' não é contínua.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de g(x) para x\neq0 e o valor g(0)=0. A resolução seguirá definindo e calculando a derivada em x\neq0 e em x=0, e depois construindo uma sequência que mostre que g' cresce sem limite em [-1,1].]

Passo 2

Diferenciabilidade para x\neq 0. Vou calcular g'(x) usando regras de derivação que você provavelmente conhece: a regra do produto e a regra da cadeia. Antes de aplicar, explico rápido essas regras de maneira bem prática.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então (u v)' = u'v + uv'. Ou seja, derivamos um fator e multiplicamos pelo outro e somamos o termo simétrico.
  • Regra da cadeia: se h(x)=f(\varphi(x)), então h'(x)=f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x). Ou seja, derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna.
Agora apliquei nas funções u(x)=x^{2} e v(x)=\sin\!\big(1/x^{2}\big) (para x\neq0 ambas são diferenciáveis). Calculemos passo a passo:
  • u'(x)=2x.
  • Para v(x)=\sin\!\big(1/x^{2}\big), pela regra da cadeia: v'(x)=\cos\!\big(1/x^{2}\big)\cdot\frac{d}{dx}\!\big(1/x^{2}\big).E \dfrac{d}{dx}(1/x^{2}) = -2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^{3}}.
Juntando tudo pela regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\sin\!\big(1/x^{2}\big)+x^{2}\cos\!\big(1/x^{2}\big)\cdot\Big(-\dfrac{2}{x^{3}}\Big).
Simplificando o segundo termo:
x^{2}\cdot\Big(-\dfrac{2}{x^{3}}\Big)\cos\!\big(1/x^{2}\big)=-\dfrac{2}{x}\cos\!\big(1/x^{2}\big).
Portanto, para x\neq0 temos a fórmula explícita
g'(x)=2x\sin\!\big(1/x^{2}\big)-\dfrac{2}{x}\cos\!\big(1/x^{2}\big).
Isso mostra que para qualquer x\neq0 a derivada existe (é dada por essa expressão).

Passo 3

Diferenciabilidade em x=0 (definição de derivada). Aqui não podemos usar as regras de produto/ cadeia porque a expressão \sin(1/x^{2}) tem problema em x=0; devemos verificar diretamente o limite que define a derivada em zero:
g'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g(h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}\sin\!\big(1/h^{2}\big)-0}{h}=\lim_{h\to 0} h\sin\!\big(1/h^{2}\big).
Agora uma estimativa simples: para todo real t temos |\sin t|\le 1. Logo
\left|h\sin\!\big(1/h^{2}\big)\right|\le |h|.
Como \lim_{h\to 0}|h|=0, pelo Teorema do Confronto (ou pelo fato que se uma função está em módulo menor que algo que tende a zero, então ela também tende a zero) temos
\lim_{h\to 0} h\sin\!\big(1/h^{2}\big)=0.
Portanto g'(0)=0. Concluímos que g é diferenciável em 0 e o valor da derivada é 0.

Passo 4

Resumo parcial e interpretação didática. Reunindo os passos anteriores:
  • Para x\neq0 mostramos diretamente pela regra do produto e cadeia que g' existe e é dada por g'(x)=2x\sin\!\big(1/x^{2}\big)-\dfrac{2}{x}\cos\!\big(1/x^{2}\big).
  • Em x=0 mostramos pela definição que g'(0)=0.
Isto responde a primeira parte do enunciado: g é diferenciável para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Obj.: mostrar que g' não é limitada em [-1,1]. Estratégia: construir uma sequência (x_{n}) em [-1,1] que tende a 0 e tal que |g'(x_{n})|\to\infty. A ideia intuitiva: na fórmula para g'(x) o termo -\dfrac{2}{x}\cos(1/x^{2}) tem um fator \dfrac{1}{x} que explode quando x\to0; se conseguirmos escolher x_{n} com \cos(1/x_{n}^{2})=\pm 1 (ou seja, valor não nulo), o termo \dfrac{2}{x_{n}}\cos(1/x_{n}^{2}) vai para infinito em módulo.
Construção padrão: escolhemos x_{n} tal que 1/x_{n}^{2}=n\pi (aqui peguei múltiplos de \pi para que \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}). Assim definimos
x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n\pi}},\qquad n=1,2,3,\dots
Note que x_{n}>0 e x_{n}\to0 quando n\to\infty, portanto todos x_{n} pertencem a [ -1,1] a partir de algum n (na verdade para todo n já que x_{1}=1/\sqrt{\pi}<1).
Agora avaliamos g'(x_{n}). Pelo que calculamos em Passo 2:
g'(x_{n})=2x_{n}\sin\!\big(1/x_{n}^{2}\big)-\dfrac{2}{x_{n}}\cos\!\big(1/x_{n}^{2}\big).
Pelo jeito que escolhemos x_{n}, temos 1/x_{n}^{2}=n\pi. Assim \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Portanto o primeiro termo anula e obtemos
g'(x_{n}) = -\dfrac{2}{x_{n}}(-1)^{n} = (-1)^{n+1}\frac{2}{x_{n}}.
O módulo é
|g'(x_{n})|=\frac{2}{x_{n}}=2\sqrt{n\pi}.
Como \sqrt{n\pi}\to\infty quando n\to\infty, concluímos que |g'(x_{n})|\to\infty. Em particular g' não é limitada em qualquer intervalo que contenha pontos arbitrariamente próximos de 0, como é o caso de [-1,1].

Passo 6

Conclusão sobre continuidade. Dois comentários conectados e simples:
  • Como acabamos de mostrar, existe uma sequência (x_{n})\subset[-1,1] com x_{n}\to0 tal que |g'(x_{n})|\to\infty. Logo g' não é limitada em [-1,1].
  • Teorema de Weierstrass (forma prática): toda função contínua em um intervalo fechado e limitado (compacto), como [-1,1], é limitada. Portanto se g' fosse contínua em [-1,1] ele teria que ser limitado nesse intervalo. Como não é limitado, isso implica que g' não pode ser contínua em [-1,1].
Comentário mais direto e intuitivo: além da argumentação acima pelo teorema, dá para ver concretamente que g' não é contínua em 0, porque g'(0)=0 (Passo 3) mas ao aproximar por x_{n}=1/\sqrt{n\pi} obtemos g'(x_{n})\to\infty, então não há convergência de g'(x) para g'(0) ao aproximar x\to0; isto já prova falta de continuidade em 0.

Resposta

g é diferenciável para todo x\in\mathbb{R}.
g' não é limitada em [-1,1]; portanto g' não é contínua.

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