Seja: \mathbf{T}: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{2} uma transformação linear, e considere que: \mathbf{B}=\{(\mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{1}),(\mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{1}),(\mathbf{0}, \mathbf{0}, \mathbf{1})\} e \mathbf{B}^{1}=\{(\mathbf{1}, \mathbf{0}),(\mathbf{0}, \mathbf{1})\} bases do R^{3} e R^{2}, respectivamente. Seja \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ 2 & -1 & -2\end{array}\right]. Determine a transformação linear T .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede para determinar a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}.
Dados fornecidos:
\mathbf{B}=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}\quad\text{base de }\mathbb{R}^3,
\mathbf{B}^{1}=\{(1,0),(0,1)\}\quad\text{base de }\mathbb{R}^2,
e a matriz associada (dados pelo enunciado):
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
O que o enunciado pede: encontrar explicitamente T, isto é, uma fórmula que dê T(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando se nos dá a matriz de uma transformação linear relativa às bases \mathbf{B} (do domínio) e \mathbf{B}^{1} (do contradomínio), cada coluna dessa matriz é o vetor de coordenadas da imagem do vetor correspondente da base \mathbf{B}, expressa na base \mathbf{B}^{1}.
Mais nitidamente: se \mathbf{B}=(b_1,b_2,b_3) e \mathbf{B}^1=(e_1',e_2'), e a matriz é
M=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\[4pt] m_{21} & m_{22} & m_{23}\end{pmatrix},
então a coluna j dá as coordenadas de T(b_j) na base \mathbf{B}^1:
[T(b_j)]_{\mathbf{B}^1}=\begin{pmatrix} m_{1j}\\[4pt] m_{2j}\end{pmatrix}.
No nosso caso \mathbf{B}^1 é justamente a base canônica de \mathbb{R}^2 (ou seja, (1,0) e (0,1)), então as coordenadas na base \mathbf{B}^1 são exatamente as coordenadas usuais em \mathbb{R}^2. Portanto podemos ler diretamente as imagens em coordenadas padrão.
Aplicando isso à matriz dada:
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & -1 & -2 \end{pmatrix},
temos
T(1,1,1)=(2,2),\quad T(0,1,1)=(0,-1),\quad T(0,0,1)=(1,-2).
Aqui peguei cada coluna da matriz (primeira coluna (2,2)^\top, segunda (0,-1)^\top, terceira (1,-2)^\top) e interpretei como as imagens dos vetores da base \mathbf{B} em coordenadas padrão (porque \mathbf{B}^1 é a base canônica).]

Passo 3

Agora queremos encontrar T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z). A estratégia: escrever (x,y,z) como combinação linear dos vetores da base \mathbf{B}, isto é encontrar escalares a,b,c tais que
a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)=(x,y,z).
Calculemos o lado esquerdo componente a componente:
a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1) = (a,\; a+b,\; a+b+c).
Igualando coordenadas com (x,y,z) obtemos o sistema
a = x,
a + b = y,
a + b + c = z.
Resolvendo:
a = x,
b = y - a = y - x,
c = z - (a+b) = z - y.
Portanto as coordenadas de (x,y,z) na base \mathbf{B} são (a,b,c)=(x,\; y-x,\; z-y).

Passo 4

Usando linearidade de T:
T(x,y,z)=T\big(a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)\big)=a\,T(1,1,1)+b\,T(0,1,1)+c\,T(0,0,1).
Substituindo as imagens encontradas no Passo 2 e os coeficientes do Passo 3:
T(x,y,z)=x\,(2,2)+(y-x)\,(0,-1)+(z-y)\,(1,-2).

Passo 5

Calculemos componente a componente para simplificar e obter a fórmula final.
Primeira componente:
\text{(1ª comp.) } = 2x + 0\cdot(y-x) + 1\cdot(z-y) = 2x + z - y.ª
Segunda componente:
\text{(2ª comp.) } = 2x + (-1)\cdot(y-x) + (-2)\cdot(z-y).ª
Desenvolvendo cada termo:
2x - (y-x) -2(z-y) = 2x - y + x -2z +2y = 3x + y -2z.
Portanto
T(x,y,z) = (\,2x - y + z,\; 3x + y - 2z\,).

Resposta

T(x,y,z)=(2x - y + z,\; 3x + y - 2z)

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