O que o enunciado pede: encontrar explicitamente T, isto é, uma fórmula que dê T(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.]
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando se nos dá a matriz de uma transformação linear relativa às bases \mathbf{B} (do domínio) e \mathbf{B}^{1} (do contradomínio), cada coluna dessa matriz é o vetor de coordenadas da imagem do vetor correspondente da base \mathbf{B}, expressa na base \mathbf{B}^{1}.
Mais nitidamente: se \mathbf{B}=(b_1,b_2,b_3) e \mathbf{B}^1=(e_1',e_2'), e a matriz é
No nosso caso \mathbf{B}^1 é justamente a base canônica de \mathbb{R}^2 (ou seja, (1,0) e (0,1)), então as coordenadas na base \mathbf{B}^1 são exatamente as coordenadas usuais em \mathbb{R}^2. Portanto podemos ler diretamente as imagens em coordenadas padrão.
Aqui peguei cada coluna da matriz (primeira coluna (2,2)^\top, segunda (0,-1)^\top, terceira (1,-2)^\top) e interpretei como as imagens dos vetores da base \mathbf{B} em coordenadas padrão (porque \mathbf{B}^1 é a base canônica).]
Passo 3
Agora queremos encontrar T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z). A estratégia: escrever (x,y,z) como combinação linear dos vetores da base \mathbf{B}, isto é encontrar escalares a,b,c tais que
a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)=(x,y,z).
Calculemos o lado esquerdo componente a componente:
a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1) = (a,\; a+b,\; a+b+c).
Igualando coordenadas com (x,y,z) obtemos o sistema
a = x,
a + b = y,
a + b + c = z.
Resolvendo:
a = x,
b = y - a = y - x,
c = z - (a+b) = z - y.
Portanto as coordenadas de (x,y,z) na base \mathbf{B} são (a,b,c)=(x,\; y-x,\; z-y).