Questão extra:
( 0,5 ponto) Defina transformação linear injetora, transformação linear sobrejetora e isomorfismo de espaços vetoriais.
( 0,5 ponto) Defina transformação linear injetora, transformação linear sobrejetora e isomorfismo de espaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede três definições precisas e curtas: (1) transformação linear injetora, (2) transformação linear sobrejetora e (3) isomorfismo de espaços vetoriais.
Informações dadas (implícitas): estamos trabalhando com espaços vetoriais sobre um mesmo corpo (por exemplo ou
) e com uma transformação linear genérica
. Não há outros dados numéricos ou figura — só precisamos definir os conceitos e explicar como reconhecê-los.
Informações dadas (implícitas): estamos trabalhando com espaços vetoriais sobre um mesmo corpo (por exemplo
Passo 2
Primeiro vamos fixar o cenário e alguns objetos que aparecerão nas definições. Seja
uma aplicação linear entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo. “Aplicação linear” significa, por definição, que para quaisquer
e qualquer escalar
vale:
e
Duas noções importantes que usaremos são o núcleo (kernel) e a imagem (range) de
:
Vou ensinar como usar essas duas noções para caracterizar injetividade e sobrejetividade.
Passo 3
Definição por injeção em termos de função (linguagem simples):
é injetora se nunca envia dois vetores diferentes de
para o mesmo vetor em
. Em símbolos:
Uma forma equivalente, típica de álgebra linear, é:
Prova curta dessa equivalência (passo a passo):
- Se
e , então . Assim . Como o kernel é , segue , ou seja . Logo é injetora. - Recíproco: se
é injetora e , então . Pela injetividade . Assim .
Passo 4
Exemplo prático e interpretação para a prova: se
é dada por uma matriz
(no caso de bases padrão) e
, então
é invertível e
é injetora — equivalente a
. Exemplo simples: a transformação
dada por
tem
, então
e
é injetora. Na prova, calcular o kernel (resolver
) é uma maneira direta de testar injetividade.]
Passo 5
Definição de sobrejeção (por imagem):
é sobrejetora (ou “sobre”) se sua imagem é todo o espaço
. Em símbolos:
ou, dito de outro jeito,
Interpretação: para cada vetor alvo em
existe pelo menos um vetor origem em
que o mapeia. Na prova, para testar sobrejetividade você pode tentar resolver
para um
genérico; se sempre houver solução, é sobrejetora.
Passo 6
Exemplo e critério prático para prova: para transformações representadas por matriz
(dimensões finitas),
é sobrejetora se a coluna-espaço (colunas de
) gera todo
, ou seja, se o posto (rank) de
é igual a
. Um exemplo simples: a projeção
dada por
é sobrejetora porque para qualquer
existe
com
.
Passo 7
Relação entre injetividade, sobrejetividade e dimensões (ferramenta útil em provas): o Teorema da Dimensão (teorema da nulidade posto) diz, quando
é de dimensão finita,
Dessa fórmula segue a consequência prática: se
, então
é injetora se e somente se é sobrejetora. Por isso, em provas de espaços finito-dimensionais de mesma dimensão, basta verificar um dos dois (geralmente injetividade via kernel é mais simples).
Passo 8
Agora o que é isomorfismo. Definição conceitual: um isomorfismo é uma “igualdade estrutural” entre espaços vetoriais — é um mapa linear que tem inversa linear. Mais formalmente:
Propriedade equivalente e muito usada em provas:
é isomorfismo se e somente se existe uma aplicação linear
tal que
e
. Quando
é bijetora, a inversa
existe e é automaticamente linear (a prova disso usa a unicidade da pré-imagem e a linearidade de
).
Passo 9
Exemplos e critérios práticos de verificação em provas:
- Se a matriz que representa
na base padrão é invertível ( ), então é isomorfismo. - Se
e , então é isomorfismo (pela observação do Passo 7). - Exemplos concretos: a rotação em
é isomorfismo; a projeção não é isomorfismo (não é bijetora porque as dimensões são diferentes).
Passo 10
Dicas para a prova (resumidinhas, tipo checklist):
- Teste injetividade: calcule
resolvendo . Se só tiver , é injetora. - Teste sobrejetividade: verifique se
(ou que o posto de é ). - Teste isomorfismo: ou mostre bijeção direta, ou mostre invertibilidade da matriz que representa
, ou use as dimensões quando finite-dim.
Resposta
Transformação linear injetora:
é injetora se, e somente se, para quaisquer
vale
; equivalente a
.
Transformação linear sobrejetora: é sobrejetora se, e somente se,
, isto é, para todo
existe
tal que
.
Isomorfismo de espaços vetoriais: é um isomorfismo se
é linear e bijetora (injetora e sobrejetora); equivalente à existência de
linear tal que
e
.
Transformação linear sobrejetora:
Isomorfismo de espaços vetoriais: