Questão extra:
( 0,5 ponto) Defina transformação linear injetora, transformação linear sobrejetora e isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede três definições precisas e curtas: (1) transformação linear injetora, (2) transformação linear sobrejetora e (3) isomorfismo de espaços vetoriais.
Informações dadas (implícitas): estamos trabalhando com espaços vetoriais sobre um mesmo corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}) e com uma transformação linear genérica T\colon V\to W. Não há outros dados numéricos ou figura — só precisamos definir os conceitos e explicar como reconhecê-los.

Passo 2

Primeiro vamos fixar o cenário e alguns objetos que aparecerão nas definições. Seja T\colon V\to W uma aplicação linear entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo. “Aplicação linear” significa, por definição, que para quaisquer u,v\in V e qualquer escalar \alpha vale:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha v)=\alpha T(v).
Duas noções importantes que usaremos são o núcleo (kernel) e a imagem (range) de T:
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\},
\operatorname{Im}(T)=\{w\in W \mid \exists v\in V,\;T(v)=w\}.
Vou ensinar como usar essas duas noções para caracterizar injetividade e sobrejetividade.

Passo 3

Definição por injeção em termos de função (linguagem simples): T é injetora se nunca envia dois vetores diferentes de V para o mesmo vetor em W. Em símbolos:
T \text{ é injetora} \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(T(v_1)=T(v_2)\Rightarrow v_1=v_2\bigr).é
Uma forma equivalente, típica de álgebra linear, é:
T \text{ é injetora} \quad\Longleftrightarrow\quad \ker(T)=\{0\}.é
Prova curta dessa equivalência (passo a passo):
  • Se \ker(T)=\{0\} e T(v_1)=T(v_2), então T(v_1-v_2)=T(v_1)-T(v_2)=0. Assim v_1-v_2\in\ker(T). Como o kernel é \{0\}, segue v_1-v_2=0, ou seja v_1=v_2. Logo T é injetora.
  • Recíproco: se T é injetora e v\in\ker(T), então T(v)=0=T(0). Pela injetividade v=0. Assim \ker(T)=\{0\}.

Passo 4

Exemplo prático e interpretação para a prova: se T é dada por uma matriz A (no caso de bases padrão) e \det(A)\neq 0, então A é invertível e T é injetora — equivalente a \ker(T)=\{0\}. Exemplo simples: a transformação T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}
tem \det(A)=2\neq0, então \ker(T)=\{0\} e T é injetora. Na prova, calcular o kernel (resolver A x=0) é uma maneira direta de testar injetividade.]

Passo 5

Definição de sobrejeção (por imagem): T é sobrejetora (ou “sobre”) se sua imagem é todo o espaço W. Em símbolos:
T \text{ é sobrejetora} \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Im}(T)=W,é
ou, dito de outro jeito,
T \text{ é sobrejetora} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall w\in W,\\ \exists v\in V\\ \text{com }T(v)=w.é
Interpretação: para cada vetor alvo em W existe pelo menos um vetor origem em V que o mapeia. Na prova, para testar sobrejetividade você pode tentar resolver T(v)=w para um w genérico; se sempre houver solução, é sobrejetora.

Passo 6

Exemplo e critério prático para prova: para transformações representadas por matriz A (dimensões finitas), T é sobrejetora se a coluna-espaço (colunas de A) gera todo W, ou seja, se o posto (rank) de A é igual a \dim W. Um exemplo simples: a projeção P\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por P(x,y)=x é sobrejetora porque para qualquer t\in\mathbb{R} existe (t,0) com P(t,0)=t.

Passo 7

Relação entre injetividade, sobrejetividade e dimensões (ferramenta útil em provas): o Teorema da Dimensão (teorema da nulidade posto) diz, quando V é de dimensão finita,
\dim V=\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T).
Dessa fórmula segue a consequência prática: se \dim V=\dim W<\infty, então T é injetora se e somente se é sobrejetora. Por isso, em provas de espaços finito-dimensionais de mesma dimensão, basta verificar um dos dois (geralmente injetividade via kernel é mais simples).

Passo 8

Agora o que é isomorfismo. Definição conceitual: um isomorfismo é uma “igualdade estrutural” entre espaços vetoriais — é um mapa linear que tem inversa linear. Mais formalmente:
T\colon V\to W \text{ é um isomorfismo} \quad\Longleftrightarrow\quad T \text{ é linear e bijetora (injetora + sobrejetora)}.éé
Propriedade equivalente e muito usada em provas: T é isomorfismo se e somente se existe uma aplicação linear S\colon W\to V tal que S\circ T=\mathrm{Id}_V e T\circ S=\mathrm{Id}_W. Quando T é bijetora, a inversa T^{-1} existe e é automaticamente linear (a prova disso usa a unicidade da pré-imagem e a linearidade de T).

Passo 9

Exemplos e critérios práticos de verificação em provas:
  • Se a matriz que representa T na base padrão é invertível ( \det\neq0), então T é isomorfismo.
  • Se \dim V=\dim W<\infty e \ker(T)=\{0\}, então T é isomorfismo (pela observação do Passo 7).
  • Exemplos concretos: a rotação em \mathbb{R}^2 é isomorfismo; a projeção \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} não é isomorfismo (não é bijetora porque as dimensões são diferentes).

Passo 10

Dicas para a prova (resumidinhas, tipo checklist):
  • Teste injetividade: calcule \ker(T) resolvendo T(v)=0. Se só tiver v=0, é injetora.
  • Teste sobrejetividade: verifique se \operatorname{Im}(T)=W (ou que o posto de T é \dim W).
  • Teste isomorfismo: ou mostre bijeção direta, ou mostre invertibilidade da matriz que representa T, ou use as dimensões quando finite-dim.

Resposta

Transformação linear injetora: T\colon V\to W é injetora se, e somente se, para quaisquer v_1,v_2\in V vale T(v_1)=T(v_2)\Rightarrow v_1=v_2; equivalente a \ker(T)=\{0\}.
Transformação linear sobrejetora: T\colon V\to W é sobrejetora se, e somente se, \operatorname{Im}(T)=W, isto é, para todo w\in W existe v\in V tal que T(v)=w.
Isomorfismo de espaços vetoriais: T\colon V\to W é um isomorfismo se T é linear e bijetora (injetora e sobrejetora); equivalente à existência de T^{-1}\colon W\to V linear tal que T^{-1}\circ T=\mathrm{Id}_V e T\circ T^{-1}=\mathrm{Id}_W.

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