Seja T: P_{1} \rightarrow P_{2} uma TLinear sendo que a matriz de T em relação as bases S=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} e B=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} é dada por \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 2 & 1 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]. Suponha que: \mathbf{v}_{1}=\mathbf{t + 1}, \mathbf{v}_{2}=\mathbf{t - 1}, \mathbf{w}_{1}=\mathbf{t}^{2}+1, \mathbf{w}_{2}=\mathbf{t}, \mathbf{e} \mathbf{w}_{3}=\mathbf{t - 1}. Pede-se:
a) \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{\mathrm{B}},\left[T\left(v_{2}\right)\right]_{\mathrm{B}}
b) T(2 t+1); c) T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: P_{1}\to P_{2} (polinômios de grau \le 1 para grau \le 2) e fornece a matriz de T relativa às bases
S=\{v_{1},v_{2}\},\qquad B=\{w_{1},w_{2},w_{3}\}.
Os dados numéricos são:
\left[ T \right]_{B\leftarrow S}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 2 & 1\\[4pt] -1 & -2 \end{pmatrix},
v_{1}=t+1,\qquad v_{2}=t-1,
w_{1}=t^{2}+1,\qquad w_{2}=t,\qquad w_{3}=t-1.
O que se pede:
a) \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B} e \left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B} (ou seja, as coordenadas em B das imagens de v_{1},v_{2});\n
b) T(2t+1);\n
c) T(v_{1}) e T(v_{2}) como polinômios (na forma explícita em t).]

Passo 2

Entendendo a matriz: quando se dá a matriz \left[ T \right]_{B\leftarrow S} com colunas indexadas pelas vetores de S, a coluna j é exatamente as coordenadas de T(v_{j}) na base B. Ou seja,
\left[T(v_{1})\right]_{B}=\text{primeira coluna},\qquad \left[T(v_{2})\right]_{B}=\text{segunda coluna}.
Pegando as colunas da matriz dada, obtemos diretamente as respostas da parte (a).

Passo 3

Ler explicitamente as colunas (resposta da parte a):
\left[T(v_{1})\right]_{B}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \qquad \left[T(v_{2})\right]_{B}= \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Isso responde (a): são os vetores coluna acima (cada entrada corresponde ao coeficiente do respectivo w_{i}).]

Passo 4

Para calcular T(2t+1) precisamos escrever 2t+1 como combinação linear dos vetores da base S:
procuramos a,b tais que
2t+1 = a\,v_{1}+b\,v_{2} = a(t+1)+b(t-1).
Desenvolvendo o lado direito obtemos
a(t+1)+b(t-1) = (a+b)t + (a-b).
Comparando coeficientes com 2t+1 dá o sistema
\begin{cases} a+b = 2,\\[4pt] a-b = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para a,b. Somando as duas equações:
(a+b)+(a-b)=2+1 \implies 2a=3 \implies a=\frac{3}{2}.
Logo
b = 2 - a = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.
Portanto as coordenadas de 2t+1 na base S são
[\,2t+1\,]_{S} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora aplicamos a matriz de T às coordenadas em S para obter as coordenadas em B de T(2t+1):
\left[T(2t+1)\right]_{B}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 2 & 1\\[4pt] -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Calculando componente a componente:
primeira entrada:
1\cdot\tfrac{3}{2}+0\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2},
segunda entrada:
2\cdot\tfrac{3}{2}+1\cdot\tfrac{1}{2}=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2},
terceira entrada:
-1\cdot\tfrac{3}{2}+(-2)\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{2}-1=-\tfrac{5}{2}.
Logo
\left[T(2t+1)\right]_{B}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{7}{2}\\[4pt]-\tfrac{5}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Converter as coordenadas em B para o polinômio explícito: se
\left[T(2t+1)\right]_{B}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{7}{2}\\[4pt]-\tfrac{5}{2}\end{pmatrix},
então
T(2t+1)=\tfrac{3}{2}w_{1}+\tfrac{7}{2}w_{2}-\tfrac{5}{2}w_{3}.
Substituindo w_{1}=t^{2}+1,\; w_{2}=t,\; w_{3}=t-1 e simplificando:
T(2t+1)=\tfrac{3}{2}(t^{2}+1)+\tfrac{7}{2}t-\tfrac{5}{2}(t-1).
Calculemos termo a termo:
\tfrac{3}{2}t^{2} + \tfrac{3}{2} + \tfrac{7}{2}t - \tfrac{5}{2}t + \tfrac{5}{2} = \tfrac{3}{2}t^{2} + \bigl(\tfrac{7}{2}-\tfrac{5}{2}\bigr)t + \bigl(\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{2}\bigr).
Portanto
T(2t+1)=\tfrac{3}{2}t^{2}+1\cdot t+4,
ou seja
T(2t+1)=\tfrac{3}{2}t^{2}+t+4.]

Passo 8

Agora obter T(v_{1}) e T(v_{2}) explicitamente como polinômios (parte c). Já temos as coordenadas em B das imagens (Passo 3):
\left[T(v_{1})\right]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \left[T(v_{2})\right]_{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Convertendo para a forma polinomial usando w_{i}:
Para T(v_{1}):
T(v_{1})=1\cdot w_{1}+2\cdot w_{2}-1\cdot w_{3} = (t^{2}+1)+2t-(t-1).
Simplificando:
T(v_{1})=t^{2}+1+2t-t+1 = t^{2}+t+2.
Para T(v_{2}):
T(v_{2})=0\cdot w_{1}+1\cdot w_{2}-2\cdot w_{3} = t-2(t-1).
Simplificando:
T(v_{2})=t-2t+2 = -t+2.]

Resposta

a) \left[T(v_{1})\right]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\; \left[T(v_{2})\right]_{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}
b) T(2t+1)=\tfrac{3}{2}t^{2}+t+4
c) T(v_{1})=t^{2}+t+2,\; T(v_{2})=-t+2]

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