Seja T: P_{1} \rightarrow P_{2} uma TLinear sendo que a matriz de T em relação as bases S=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} e B=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} é dada por \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 2 & 1 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]. Suponha que: \mathbf{v}_{1}=\mathbf{t + 1}, \mathbf{v}_{2}=\mathbf{t - 1}, \mathbf{w}_{1}=\mathbf{t}^{2}+1, \mathbf{w}_{2}=\mathbf{t}, \mathbf{e} \mathbf{w}_{3}=\mathbf{t - 1}. Pede-se:
a) \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{\mathrm{B}},\left[T\left(v_{2}\right)\right]_{\mathrm{B}}
b) T(2 t+1); c) T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: P_{1}\to P_{2} (polinômios de grau \le 1 para grau \le 2) e fornece a matriz de T relativa às bases
O que se pede:
a) \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B} e \left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B} (ou seja, as coordenadas em B das imagens de v_{1},v_{2});\n
b) T(2t+1);\n
c) T(v_{1}) e T(v_{2}) como polinômios (na forma explícita em t).]
Passo 2
Entendendo a matriz: quando se dá a matriz \left[ T \right]_{B\leftarrow S} com colunas indexadas pelas vetores de S, a coluna j é exatamente as coordenadas de T(v_{j}) na base B. Ou seja,
a) \left[T(v_{1})\right]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\; \left[T(v_{2})\right]_{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}
b) T(2t+1)=\tfrac{3}{2}t^{2}+t+4
c) T(v_{1})=t^{2}+t+2,\; T(v_{2})=-t+2]