A função
possui dois zeros reais, um no intervalo
e outro no intervalo
. Usando o método da bissecção e precisão
, calcule as duas raízes de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e afirma que ela tem dois zeros reais: um em
e outro em
. Pede-se usar o método da bissecção com precisão indicada por
para calcular as duas raízes de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função:
. - Há um zero em
. - Há outro zero em
. - Método exigido: método da bissecção.
- Interpretação da precisão: vou interpretar
como precisão (isto é a interpretação usual quando se escreve “precisão ” e parece ser o objetivo aqui). Não vou pedir confirmação, apenas sigo essa interpretação.
O que o exercício pede: encontrar numericamente, por bissecção, as duas raízes em
e em
com tolerância
.
Passo 2
Explicação didática do método da bissecção (passo a passo, sem jargões complicados):
- Ideia básica: se
é contínua num intervalo e e têm sinais opostos ( ), então existe pelo menos uma raiz em . A bissecção divide o intervalo ao meio e mantém o subintervalo que contém a mudança de sinal, repetindo até chegar na precisão desejada. - Fórmulas que usamos:
- Ponto médio:
. - Teste de sinal: se
então a raiz está em senão está em . - Critério de parada (que vou usar): comprimento do intervalo
menor ou igual a . Ou seja, parar quando .
- Ponto médio:
- Número mínimo de iterações necessário (para saber que não vamos rodar infinitamente): com intervalo inicial de comprimento
, após iterações o comprimento é . Queremos . Então basta tomar No nosso caso para ambos os intervalos e , e , então Logo, com 10 iterações o comprimento do intervalo final será . - Observação prática para calcular
: usar e . Em cada iteração vou avaliar aproximadamente para decidir o sinal.
Agora aplico o método nas duas janelas indicadas. Em cada iteração eu mostro
,
,
e um valor aproximado de
(só preciso do sinal de
, mas mostro o valor aproximado para ficar didático).
Passo 3
Valores iniciais:
-
, . -
, .
Há mudança de sinal, então a bissecção pode ser aplicada. Vamos fazer 10 iterações (como calculado), parando quando.
Passo 4
-
. -
(negativo). - Como
e têm sinais opostos, nova janela: .
Passo 5
-
. -
(positivo). - Sinais:
e então raiz em .
Passo 6
-
. -
(positivo). - Mantém-se o intervalo
.
Passo 7
-
. -
(positivo). - Novo intervalo
.
Passo 8
-
. -
(negativo). - Como
e , novo intervalo .
Passo 9
-
. -
(positivo). - Novo intervalo
.
Passo 10
-
. -
(negativo). - Intervalo passa a
.
Passo 11
-
. -
(positivo). - Intervalo reduzido para
.
Passo 12
-
. -
(negativo). - Novo intervalo
.
Passo 13
-
. - Comprimento do intervalo:
. Critério de parada satisfeito. - Podemos tomar como aproximação da raiz o ponto médio
. Arredondando para três casas decimais obtemos .
Passo 14
Valores iniciais:
-
, . -
, .
Mudança de sinal confirmada. Novamentee com precisamos de 10 iterações.
Passo 15
-
. -
(positivo). - Como
e , novo intervalo: .
Passo 16
-
. -
(negativo). - Novo intervalo
.
Passo 17
-
. -
(positivo). - Novo intervalo
.
Passo 18
-
. -
(negativo). - Intervalo vira
.
Passo 19
-
. -
(positivo). - Novo intervalo
.
Passo 20
-
. -
(positivo). - Intervalo
.
Passo 21
-
. -
(positivo). - Intervalo
.
Passo 22
-
. -
(positivo). - Intervalo
.
Passo 23
-
. -
(positivo). - Intervalo
.
Passo 24
-
. - Comprimento do intervalo:
. Critério de parada satisfeito. - Tomamos como aproximação da raiz
. Arredondando para três casas decimais obtemos .