A função f(x)=2^{x}-3 x possui dois zeros reais, um no intervalo [0,1] e outro no intervalo [3,4]. Usando o método da bissecção e precisão \varepsilon^{-3}, calcule as duas raízes de \mathrm{f}(\mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2^{x}-3x e afirma que ela tem dois zeros reais: um em [0,1] e outro em [3,4]. Pede-se usar o método da bissecção com precisão indicada por \varepsilon^{-3} para calcular as duas raízes de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função: f(x)=2^{x}-3x.
  • Há um zero em [0,1].
  • Há outro zero em [3,4].
  • Método exigido: método da bissecção.
  • Interpretação da precisão: vou interpretar \varepsilon^{-3} como precisão \varepsilon = 10^{-3} (isto é a interpretação usual quando se escreve “precisão 10^{-3}” e parece ser o objetivo aqui). Não vou pedir confirmação, apenas sigo essa interpretação.
O que o exercício pede: encontrar numericamente, por bissecção, as duas raízes em [0,1] e em [3,4] com tolerância \varepsilon=10^{-3}.

Passo 2

Explicação didática do método da bissecção (passo a passo, sem jargões complicados):
  • Ideia básica: se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos ( f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em (a,b). A bissecção divide o intervalo ao meio e mantém o subintervalo que contém a mudança de sinal, repetindo até chegar na precisão desejada.
  • Fórmulas que usamos:
    • Ponto médio: \displaystyle m=\frac{a+b}{2}.
    • Teste de sinal: se f(a)\cdot f(m)\le 0 então a raiz está em [a,m] senão está em [m,b].
    • Critério de parada (que vou usar): comprimento do intervalo \ell=b-a menor ou igual a \varepsilon. Ou seja, parar quando b-a\le \varepsilon.
  • Número mínimo de iterações necessário (para saber que não vamos rodar infinitamente): com intervalo inicial de comprimento L=b-a, após n iterações o comprimento é L/2^{n}. Queremos L/2^{n}\le \varepsilon. Então basta tomar n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{L}{\varepsilon}\right)\right\rceil.No nosso caso L=1 para ambos os intervalos [0,1] e [3,4], e \varepsilon=10^{-3}, então n \ge \left\lceil \log_{2}(1000)\right\rceil = \left\lceil 9{,}96578\ldots\right\rceil = 10.Logo, com 10 iterações o comprimento do intervalo final será \displaystyle \frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{1024}\approx0{,}0009766\le 10^{-3}.
  • Observação prática para calcular 2^{x}: usar 2^{x}=e^{x\ln 2} e \ln 2\approx 0{,}693147. Em cada iteração vou avaliar f(m)=2^{m}-3m aproximadamente para decidir o sinal.
Agora aplico o método nas duas janelas indicadas. Em cada iteração eu mostro a, b, m e um valor aproximado de f(m) (só preciso do sinal de f(m), mas mostro o valor aproximado para ficar didático).

Passo 3

Valores iniciais:
  • a_0=0, f(a_0)=2^{0}-3\cdot 0=1.
  • b_0=1, f(b_0)=2^{1}-3\cdot 1=2-3=-1.
    Há mudança de sinal, então a bissecção pode ser aplicada. Vamos fazer 10 iterações (como calculado), parando quando b-a\le 10^{-3}.

Passo 4

  • m_1=\dfrac{0+1}{2}=0{,}5.
  • f(0{,}5)=2^{0{,}5}-3\cdot 0{,}5=\sqrt{2}-1{,}5\approx 1{,}41421356-1{,}5\approx -0{,}0858 (negativo).
  • Como f(a_0)=+1 e f(m_1)=-0{,}0858 têm sinais opostos, nova janela: [a_1,b_1]=[0,0{,}5].

Passo 5

  • m_2=\dfrac{0+0{,}5}{2}=0{,}25.
  • f(0{,}25)=2^{0{,}25}-3\cdot 0{,}25\approx 1{,}189207-0{,}75\approx 0{,}4392 (positivo).
  • Sinais: f(m_2)>0 e f(b_1)=-0{,}0858<0 então raiz em [a_2,b_2]=[0{,}25,0{,}5].

Passo 6

  • m_3=\dfrac{0{,}25+0{,}5}{2}=0{,}375.
  • f(0{,}375)\approx 2^{0{,}375}-3\cdot 0{,}375\approx 1{,}29684-1{,}125\approx 0{,}1718 (positivo).
  • Mantém-se o intervalo [a_3,b_3]=[0{,}375,0{,}5].

Passo 7

  • m_4=\dfrac{0{,}375+0{,}5}{2}=0{,}4375.
  • f(0{,}4375)\approx 2^{0{,}4375}-3\cdot 0{,}4375\approx 1{,}35434-1{,}3125\approx 0{,}0418 (positivo).
  • Novo intervalo [a_4,b_4]=[0{,}4375,0{,}5].

Passo 8

  • m_5=\dfrac{0{,}4375+0{,}5}{2}=0{,}46875.
  • f(0{,}46875)\approx 2^{0{,}46875}-3\cdot 0{,}46875\approx 1{,}3836-1{,}40625\approx -0{,}0227 (negativo).
  • Como f(a_4)>0 e f(m_5)<0, novo intervalo [a_5,b_5]=[0{,}4375,0{,}46875].

Passo 9

  • m_6=\dfrac{0{,}4375+0{,}46875}{2}=0{,}453125.
  • f(0{,}453125)\approx 2^{0{,}453125}-3\cdot 0{,}453125\approx 1{,}3690-1{,}359375\approx 0{,}0096 (positivo).
  • Novo intervalo [a_6,b_6]=[0{,}453125,0{,}46875].

Passo 10

  • m_7=\dfrac{0{,}453125+0{,}46875}{2}=0{,}4609375.
  • f(0{,}4609375)\approx 2^{0{,}4609375}-3\cdot 0{,}4609375\approx 1{,}3761-1{,}3828125\approx -0{,}0067 (negativo).
  • Intervalo passa a [a_7,b_7]=[0{,}453125,0{,}4609375].

Passo 11

  • m_8=\dfrac{0{,}453125+0{,}4609375}{2}=0{,}45703125.
  • f(0{,}45703125)\approx 2^{0{,}45703125}-3\cdot 0{,}45703125\approx 1{,}3720-1{,}37109375\approx 0{,}0009 (positivo).
  • Intervalo reduzido para [a_8,b_8]=[0{,}45703125,0{,}4609375].

Passo 12

  • m_9=\dfrac{0{,}45703125+0{,}4609375}{2}=0{,}458984375.
  • f(0{,}458984375)\approx 2^{0{,}458984375}-3\cdot 0{,}458984375\approx 1{,}3734-1{,}376953125\approx -0{,}0035 (negativo).
  • Novo intervalo [a_9,b_9]=[0{,}45703125,0{,}458984375].

Passo 13

  • m_{10}=\dfrac{0{,}45703125+0{,}458984375}{2}=0{,}4580078125.
  • Comprimento do intervalo: b_{10}-a_{10}=0{,}458984375-0{,}45703125=\dfrac{1}{1024}\approx 0{,}0009766\le 10^{-3}. Critério de parada satisfeito.
  • Podemos tomar como aproximação da raiz o ponto médio m_{10}=0{,}4580078125. Arredondando para três casas decimais obtemos x\approx 0{,}458.

Passo 14

Valores iniciais:
  • a_0=3, f(3)=2^{3}-3\cdot 3=8-9=-1.
  • b_0=4, f(4)=2^{4}-3\cdot 4=16-12=4.
    Mudança de sinal confirmada. Novamente L=1 e com \varepsilon=10^{-3} precisamos de 10 iterações.

Passo 15

  • m_1=\dfrac{3+4}{2}=3{,}5.
  • f(3{,}5)=2^{3{,}5}-3\cdot 3{,}5\approx 11{,}3137-10{,}5\approx 0{,}8137 (positivo).
  • Como f(3)<0 e f(3{,}5)>0, novo intervalo: [a_1,b_1]=[3,3{,}5].

Passo 16

  • m_2=\dfrac{3+3{,}5}{2}=3{,}25.
  • f(3{,}25)=2^{3{,}25}-3\cdot 3{,}25\approx 9{,}513656-9{,}75\approx -0{,}236344 (negativo).
  • Novo intervalo [a_2,b_2]=[3{,}25,3{,}5].

Passo 17

  • m_3=\dfrac{3{,}25+3{,}5}{2}=3{,}375.
  • f(3{,}375)\approx 2^{3{,}375}-3\cdot 3{,}375\approx 10{,}3747-10{,}125\approx 0{,}2497 (positivo).
  • Novo intervalo [a_3,b_3]=[3{,}25,3{,}375].

Passo 18

  • m_4=\dfrac{3{,}25+3{,}375}{2}=3{,}3125.
  • f(3{,}3125)\approx 2^{3{,}3125}-3\cdot 3{,}3125\approx 9{,}9328-9{,}9375\approx -0{,}0047 (negativo).
  • Intervalo vira [a_4,b_4]=[3{,}3125,3{,}375].

Passo 19

  • m_5=\dfrac{3{,}3125+3{,}375}{2}=3{,}34375.
  • f(3{,}34375)\approx 2^{3{,}34375}-3\cdot 3{,}34375\approx 10{,}1528-10{,}03125\approx 0{,}1216 (positivo).
  • Novo intervalo [a_5,b_5]=[3{,}3125,3{,}34375].

Passo 20

  • m_6=\dfrac{3{,}3125+3{,}34375}{2}=3{,}328125.
  • f(3{,}328125)\approx 2^{3{,}328125}-3\cdot 3{,}328125\approx 10{,}0438-9{,}984375\approx 0{,}0594 (positivo).
  • Intervalo [a_6,b_6]=[3{,}3125,3{,}328125].

Passo 21

  • m_7=\dfrac{3{,}3125+3{,}328125}{2}=3{,}3203125.
  • f(3{,}3203125)\approx 2^{3{,}3203125}-3\cdot 3{,}3203125\approx 9{,}9888-9{,}9609375\approx 0{,}0279 (positivo).
  • Intervalo [a_7,b_7]=[3{,}3125,3{,}3203125].

Passo 22

  • m_8=\dfrac{3{,}3125+3{,}3203125}{2}=3{,}31640625.
  • f(3{,}31640625)\approx 2^{3{,}31640625}-3\cdot 3{,}31640625\approx 9{,}9608-9{,}94921875\approx 0{,}0116 (positivo).
  • Intervalo [a_8,b_8]=[3{,}3125,3{,}31640625].

Passo 23

  • m_9=\dfrac{3{,}3125+3{,}31640625}{2}=3{,}314453125.
  • f(3{,}314453125)\approx 2^{3{,}314453125}-3\cdot 3{,}314453125\approx 9{,}9468-9{,}943359375\approx 0{,}00345 (positivo).
  • Intervalo [a_9,b_9]=[3{,}3125,3{,}314453125].

Passo 24

  • m_{10}=\dfrac{3{,}3125+3{,}314453125}{2}=3{,}3134765625.
  • Comprimento do intervalo: b_{10}-a_{10}=3{,}314453125-3{,}3125=\dfrac{1}{1024}\approx0{,}0009766\le 10^{-3}. Critério de parada satisfeito.
  • Tomamos como aproximação da raiz m_{10}=3{,}3134765625. Arredondando para três casas decimais obtemos x\approx 3{,}313.

Resposta

x_1\approx 0{,}458
x_2\approx 3{,}313

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