Usando o método da bissecção, calcule a raiz real de
, com precisão de 3 casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede: usando o método da bissecção, encontrar a raiz real da função
com precisão de 3 casas decimais.
Informações dadas/úteis:
Informações dadas/úteis:
- A função é
. - Precisão pedida: 3 casas decimais (ou seja, queremos o valor arredondado com erro bem abaixo de
). - Não foi dado intervalo inicial, então devemos encontrar um intervalo
em que e tenham sinais opostos (condição necessária para aplicar bissecção).
Passo 2
Breve explicação do método da bissecção (aula rápida e prática):
- A bissecção exige um intervalo inicial
com (ou seja, sinais opostos). A função precisa ser contínua nesse intervalo — aqui é contínua em . - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
e avalia-se . - Se
, a raiz está em ; - Se
, a raiz está em ; - Se
, encontrou-se a raiz exata.
- Se
- Ao dividir o intervalo ao meio repetidamente, o comprimento do intervalo após
iterações é . - Critério de parada para 3 casas decimais: garantimos que o valor arredondado a 3 casas esteja correto se tomarmos
tal que pois assim o erro máximo no máximo-médio é .
Para um intervalo inicial de comprimento(por exemplo), precisamos de , ou seja, iterações (mínimo).
Passo 3
Escolher um intervalo inicial com mudança de sinal:
- Calcular
e :
- Observação:
e . Portanto há pelo menos uma raiz em . Tomamos esse intervalo inicial .
Passo 4
Calcular o ponto médio e avaliar:
-
. -
. - Sinal de
: e nova faixa .
Passo 5
-
. -
. - Como
e , nova faixa .
Passo 6
-
. -
. - Agora
e nova faixa .
Passo 7
-
. -
. - Como
e , nova faixa .
Passo 8
-
. -
.
Calcule: . Assim . - Então
e , nova faixa .
Passo 9
-
. -
.
Calcule, então . - Como
e , nova faixa .
Passo 10
-
. -
.
Calcule, então . - Como
e , nova faixa .
Passo 11
-
. -
.
Calcule, então . - Como
e , nova faixa .
Passo 12
-
. -
.
Calcule, então . - Assim
e , nova faixa . - Comprimento do intervalo agora:
(ainda maior que ).
Passo 13
-
. -
.
Calcule, então . - Agora
e , logo nova faixa . - Comprimento do intervalo:
. Já alcançamos o critério de precisão para 3 casas decimais.
Passo 14
Interpretação final e arredondamento:
- Após 10 iterações o zero está contido em
. - Um valor conveniente para reportar é o ponto médio final
- Arredondando
para 3 casas decimais obtemos (pois a quarta casa é 7, que arredonda a terceira para baixo em valor negativo, dando ).