Usando o método da bissecção, calcule a raiz real de \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{e}^{\mathbf{x}}-\mathbf{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{3}, com precisão de 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede: usando o método da bissecção, encontrar a raiz real da função
f(x)=e^{x}-x^{2}+3
com precisão de 3 casas decimais.
Informações dadas/úteis:
  • A função é f(x)=e^{x}-x^{2}+3.
  • Precisão pedida: 3 casas decimais (ou seja, queremos o valor arredondado com erro bem abaixo de 10^{-3}).
  • Não foi dado intervalo inicial, então devemos encontrar um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (condição necessária para aplicar bissecção).

Passo 2

Breve explicação do método da bissecção (aula rápida e prática):
  • A bissecção exige um intervalo inicial [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, sinais opostos). A função precisa ser contínua nesse intervalo — aqui f é contínua em \mathbb{R}.
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2} e avalia-se f(m).
    • Se f(a)\cdot f(m)<0, a raiz está em [a,m];
    • Se f(m)\cdot f(b)<0, a raiz está em [m,b];
    • Se f(m)=0, encontrou-se a raiz exata.
  • Ao dividir o intervalo ao meio repetidamente, o comprimento do intervalo após n iterações é \dfrac{b-a}{2^{n}}.
  • Critério de parada para 3 casas decimais: garantimos que o valor arredondado a 3 casas esteja correto se tomarmos n tal que \frac{b-a}{2^{n}}\le 0{,}001,pois assim o erro máximo no máximo-médio é \le 0{,}0005.
    Para um intervalo inicial de comprimento b-a=1 (por exemplo), precisamos de n\ge \log_{2}(1000)\approx 9{,}966, ou seja, n=10 iterações (mínimo).

Passo 3

Escolher um intervalo inicial com mudança de sinal:
  • Calcular f(-2) e f(-1): f(-2)=e^{-2}-(-2)^{2}+3=e^{-2}-4+3=e^{-2}-1\approx 0{,}1353352832-1=-0{,}8646647168,
f(-1)=e^{-1}-(-1)^{2}+3=e^{-1}-1+3=e^{-1}+2\approx 0{,}3678794412+2=2{,}3678794412.
  • Observação: f(-2)\approx -0{,}8647<0 e f(-1)\approx 2{,}3679>0. Portanto há pelo menos uma raiz em [-2,-1]. Tomamos esse intervalo inicial [a_{0},b_{0}]=[-2,-1].

Passo 4

Calcular o ponto médio e avaliar:
  • m_{1}=\dfrac{-2+(-1)}{2}=-1{,}5.
  • f(-1{,}5)=e^{-1{,}5}-(-1{,}5)^{2}+3=e^{-1{,}5}-2{,}25+3=e^{-1{,}5}+0{,}75. e^{-1{,}5}\approx 0{,}2231301601\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}5)\approx 0{,}2231301601+0{,}75=0{,}9731301601>0.
  • Sinal de f: f(-2)<0 e f(-1{,}5)>0 \Rightarrow nova faixa [a_{1},b_{1}]=[-2,-1{,}5].

Passo 5

  • m_{2}=\dfrac{-2+(-1{,}5)}{2}=-1{,}75.
  • f(-1{,}75)=e^{-1{,}75}-(-1{,}75)^{2}+3=e^{-1{,}75}-3{,}0625+3=e^{-1{,}75}-0{,}0625. e^{-1{,}75}\approx 0{,}1737739435\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}75)\approx 0{,}1737739435-0{,}0625=0{,}1112739435>0.
  • Como f(-2)<0 e f(-1{,}75)>0, nova faixa [a_{2},b_{2}]=[-2,-1{,}75].

Passo 6

  • m_{3}=\dfrac{-2+(-1{,}75)}{2}=-1{,}875.
  • f(-1{,}875)=e^{-1{,}875}-(-1{,}875)^{2}+3=e^{-1{,}875}-3{,}515625+3=e^{-1{,}875}-0{,}515625. e^{-1{,}875}\approx 0{,}153354\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}875)\approx 0{,}153354-0{,}515625=-0{,}362271<0.
  • Agora f(-1{,}875)<0 e f(-1{,}75)>0 \Rightarrow nova faixa [a_{3},b_{3}]=[-1{,}875,-1{,}75].

Passo 7

  • m_{4}=\dfrac{-1{,}875+(-1{,}75)}{2}=-1{,}8125.
  • f(-1{,}8125)=e^{-1{,}8125}-(-1{,}8125)^{2}+3=e^{-1{,}8125}-3{,}28515625+3=e^{-1{,}8125}-0{,}28515625. e^{-1{,}8125}\approx 0{,}163330\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}8125)\approx 0{,}163330-0{,}285156=-0{,}121826<0.
  • Como f(-1{,}8125)<0 e f(-1{,}75)>0, nova faixa [a_{4},b_{4}]=[-1{,}8125,-1{,}75].

Passo 8

  • m_{5}=\dfrac{-1{,}8125+(-1{,}75)}{2}=-1{,}78125.
  • f(-1{,}78125)=e^{-1{,}78125}-(-1{,}78125)^{2}+3.
    Calcule x^{2}: (-1{,}78125)^{2}=3{,}1728515625. Assim -x^{2}+3=-0{,}1728515625. e^{-1{,}78125}\approx 0{,}168386\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}78125)\approx 0{,}168386-0{,}172852=-0{,}004466\\ (\text{ligeiramente negativo}).
  • Então f(-1{,}78125)<0 e f(-1{,}75)>0, nova faixa [a_{5},b_{5}]=[-1{,}78125,-1{,}75].

Passo 9

  • m_{6}=\dfrac{-1{,}78125+(-1{,}75)}{2}=-1{,}765625.
  • f(-1{,}765625)=e^{-1{,}765625}-(-1{,}765625)^{2}+3.
    Calcule x^{2}=3{,}117431640625, então -x^{2}+3=-0{,}117431640625. e^{-1{,}765625}\approx 0{,}171071\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}765625)\approx 0{,}171071-0{,}117432=0{,}053639>0.
  • Como f(-1{,}78125)<0 e f(-1{,}765625)>0, nova faixa [a_{6},b_{6}]=[-1{,}78125,-1{,}765625].

Passo 10

  • m_{7}=\dfrac{-1{,}78125+(-1{,}765625)}{2}=-1{,}7734375.
  • f(-1{,}7734375)=e^{-1{,}7734375}-(-1{,}7734375)^{2}+3.
    Calcule x^{2}\approx 3{,}14508056640625, então -x^{2}+3\approx -0{,}14508056640625. e^{-1{,}7734375}\approx 0{,}169673\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}7734375)\approx 0{,}169673-0{,}145081=0{,}024592>0.
  • Como f(-1{,}78125)<0 e f(-1{,}7734375)>0, nova faixa [a_{7},b_{7}]=[-1{,}78125,-1{,}7734375].

Passo 11

  • m_{8}=\dfrac{-1{,}78125+(-1{,}7734375)}{2}=-1{,}77734375.
  • f(-1{,}77734375)=e^{-1{,}77734375}-(-1{,}77734375)^{2}+3.
    Calcule x^{2}\approx 3{,}1589508056640625, então -x^{2}+3\approx -0{,}1589508056640625. e^{-1{,}77734375}\approx 0{,}169036\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}77734375)\approx 0{,}169036-0{,}158951=0{,}010085>0.
  • Como f(-1{,}78125)<0 e f(-1{,}77734375)>0, nova faixa [a_{8},b_{8}]=[-1{,}78125,-1{,}77734375].

Passo 12

  • m_{9}=\dfrac{-1{,}78125+(-1{,}77734375)}{2}=-1{,}779296875.
  • f(-1{,}779296875)=e^{-1{,}779296875}-(-1{,}779296875)^{2}+3.
    Calcule x^{2}\approx 3{,}1658973693847656, então -x^{2}+3\approx -0{,}1658973693847656. e^{-1{,}779296875}\approx 0{,}168714\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}779296875)\approx 0{,}168714-0{,}165897=0{,}002817>0.
  • Assim f(-1{,}78125)<0 e f(-1{,}779296875)>0, nova faixa [a_{9},b_{9}]=[-1{,}78125,-1{,}779296875].
  • Comprimento do intervalo agora: b_{9}-a_{9}=0{,}001953125 (ainda maior que 0{,}001).

Passo 13

  • m_{10}=\dfrac{-1{,}78125+(-1{,}779296875)}{2}=-1{,}7802734375.
  • f(-1{,}7802734375)=e^{-1{,}7802734375}-(-1{,}7802734375)^{2}+3.
    Calcule x^{2}\approx 3{,}169374465942383, então -x^{2}+3\approx -0{,}169374465942383. e^{-1{,}7802734375}\approx 0{,}168550\quad\Rightarrow\quad f(-1{,}7802734375)\approx 0{,}168550-0{,}169374=-0{,}00082416<0.
  • Agora f(-1{,}7802734375)<0 e f(-1{,}779296875)>0, logo nova faixa [a_{10},b_{10}]=[-1{,}7802734375,-1{,}779296875].
  • Comprimento do intervalo: b_{10}-a_{10}=0{,}0009765625\le 0{,}001. Já alcançamos o critério de precisão para 3 casas decimais.

Passo 14

Interpretação final e arredondamento:
  • Após 10 iterações o zero está contido em [-1{,}7802734375,\,-1{,}779296875].
  • Um valor conveniente para reportar é o ponto médio final x_{\text{aprox}}=\frac{-1{,}7802734375+(-1{,}779296875)}{2}=-1{,}77978515625.
  • Arredondando x_{\text{aprox}} para 3 casas decimais obtemos -1{,}780 (pois a quarta casa é 7, que arredonda a terceira para baixo em valor negativo, dando -1{,}780).

Resposta

-1{,}780

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