Seja \mathcal{B} um conjunto de vetores em um espaço vetorial V satisfazendo a seguinte propriedade: todo vetor de V pode ser escrito, de forma única, como combinação linear dos vetores de \mathcal{B}. Prove que \mathcal{B} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado diz que \mathcal{B}\subseteq V é tal que todo vetor v\in V admite única expressão como combinação linear dos vetores de \mathcal{B}. O conteúdo aqui é “base de um espaço vetorial”, que exige dois itens: (i) gerar V e (ii) ser linearmente independente.

Passo 2

Como todo v\in V pode ser escrito como combinação linear de elementos de \mathcal{B}, segue que
\mathcal{L}(\mathcal{B}) = V,
ou seja, \mathcal{B} gera V.

Passo 3

Para provar que \mathcal{B} é linearmente independente, suponha que haja uma combinação linear finita igual a zero:
a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = 0,
com b_i\in\mathcal{B} e escalares a_i. Essa é uma forma de escrever o vetor nulo como combinação de vetores de \mathcal{B}. Mas, pela unicidade dada, a única forma de representar 0 é com todos os coeficientes nulos. Logo
a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0,
o que mostra que \mathcal{B} é linearmente independente.

Passo 4

Temos então que \mathcal{B} gera V e é linearmente independente. Pela definição, isso basta para concluir que \mathcal{B} é base de V.

Resposta

\mathcal{B} é base de V.

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