Seja
um conjunto de vetores em um espaço vetorial
satisfazendo a seguinte propriedade: todo vetor de
pode ser escrito, de forma única, como combinação linear dos vetores de
. Prove que
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é tal que todo vetor
admite única expressão como combinação linear dos vetores de
. O conteúdo aqui é “base de um espaço vetorial”, que exige dois itens: (i) gerar
e (ii) ser linearmente independente.
Passo 2
Como todo
pode ser escrito como combinação linear de elementos de
, segue que
ou seja,
gera
.
Passo 3
Para provar que
é linearmente independente, suponha que haja uma combinação linear finita igual a zero:
com
e escalares
. Essa é uma forma de escrever o vetor nulo como combinação de vetores de
. Mas, pela unicidade dada, a única forma de representar
é com todos os coeficientes nulos. Logo
o que mostra que
é linearmente independente.
Passo 4
Temos então que
gera
e é linearmente independente. Pela definição, isso basta para concluir que
é base de
.