Encontre o vetor de coordenadas de \mathrm{p}(x)=2-x+3 x^{2} relativo à base \mathcal{B}=\left\{1+x, 1-x, x^{2}\right\} de \mathscr{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor de coordenadas de \displaystyle p(x)=2 - x + 3x^{2}
em relação à base \displaystyle \mathcal{B}=\{\,1+x,\;1-x,\;x^{2}\}
do espaço vetorial \mathscr{P}_{2}.
O que precisamos fazer é escrever p(x) como combinação linear dos vetores de \mathcal{B} e extrair esses coeficientes.

Passo 2

Sejam \alpha,\beta,\gamma os coeficientes tais que
\alpha\,(1+x)\;+\;\beta\,(1-x)\;+\;\gamma\,x^{2} \;=\;2 - x + 3x^{2}.
Esses \alpha,\beta,\gamma serão exatamente as coordenadas de p na base \mathcal{B}.

Passo 3

Expandindo a combinação linear do lado esquerdo, obtemos
\alpha + \alpha x + \beta - \beta x + \gamma x^{2} \;=\; (\alpha+\beta)\;+\;(\alpha-\beta)\,x\;+\;\gamma\,x^{2}.
Comparando com 2 - x + 3x^{2}, igualamos coeficientes de cada potência de x:
\begin{cases} \alpha + \beta = 2,\\\ \alpha - \beta = -1,\\\ \gamma = 3. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema para \alpha e \beta:
somando as duas primeiras equações,
2\alpha = 2 + (-1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \tfrac12.
Então \beta = 2 - \alpha = 2 - \tfrac12 = \tfrac32. E já tínhamos \gamma=3.

Resposta

O vetor de coordenadas de p em relação à base \mathcal{B} é
\begin{pmatrix} \tfrac12 \\[6pt] \tfrac32 \\[6pt] 3 \end{pmatrix}_{\mathcal{B}}.]

Exercícios relacionados