Encontre o vetor de coordenadas de \mathrm{p}(x)=2-x+3 x^{2} relativo à base \mathcal{B}=\left\{1+x, 1-x, x^{2}\right\} de \mathscr{P}_{2}.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o vetor de coordenadas de \displaystyle p(x)=2 - x + 3x^{2}
em relação à base \displaystyle \mathcal{B}=\{\,1+x,\;1-x,\;x^{2}\}
do espaço vetorial \mathscr{P}_{2}.
O que precisamos fazer é escrever p(x) como combinação linear dos vetores de \mathcal{B} e extrair esses coeficientes.
Passo 2
Sejam \alpha,\beta,\gamma os coeficientes tais que
\alpha\,(1+x)\;+\;\beta\,(1-x)\;+\;\gamma\,x^{2} \;=\;2 - x + 3x^{2}.
Esses \alpha,\beta,\gamma serão exatamente as coordenadas de p na base \mathcal{B}.
Passo 3
Expandindo a combinação linear do lado esquerdo, obtemos
\alpha + \alpha x + \beta - \beta x + \gamma x^{2} \;=\; (\alpha+\beta)\;+\;(\alpha-\beta)\,x\;+\;\gamma\,x^{2}.
Comparando com 2 - x + 3x^{2}, igualamos coeficientes de cada potência de x: