Encontre o vetor de coordenadas de \mathrm{p}(x)=2-x+3 x^{2} relativo à base \mathcal{B}=\left\{1,1+x,-1+x^{2}\right\} de \mathscr{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá \mathrm{p}(x)=2 - x + 3x^2 e pede as coordenadas desse polinômio na base \mathcal{B}=\{1,\,1+x,\,-1+x^2\}. Para isso, vamos escrever \mathrm{p}(x) como combinação linear dos vetores da base e resolver o sistema que surge.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a\cdot1 \;+\; b\cdot(1+x)\;+\;c\cdot(-1+x^2) \;=\;\mathrm{p}(x).
Expandindo, obtemos
a + b + b\,x \;-\; c + c\,x^2 \;=\;(a + b - c)\;+\;b\,x\;+\;c\,x^2.

Passo 3

Como \mathrm{p}(x)=2 - x + 3x^2, igualamos coeficientes dos termos semelhantes:
\begin{cases} a + b - c = 2,\\\ b = -1,\\\ c = 3. \end{cases}

Passo 4

Dos dois últimos temos b=-1 e c=3. Substituindo na primeira equação:
a + (-1) - 3 = 2 \quad\implies\quad a - 4 = 2 \quad\implies\quad a = 6.

Passo 5

Assim, os escalares que expressam \mathrm{p}(x) na base \mathcal{B} são
a=6,\quad b=-1,\quad c=3.

Resposta

(6,-1,3)

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