Ache uma solução não-trivial para o sistema homogêneo: \left\{\begin{array}{c}x+2 y+3 z+4 t=0 \\\\ 2 x+y+z-t=0 \\\\ 3 x-2 y+z-2 t=0\end{array}\right. e, a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores
v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(2,1,-2), v_{3}=(3,1,1), v_{4}=(4,-1,2),

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma solução não-trivial do sistema homogêneo
\begin{cases} x+2y+3z+4t=0\\[4pt] 2x+y+z-t=0\\[4pt] 3x-2y+z-2t=0 \end{cases}
e, a partir dessa solução, obter uma combinação linear nula dos vetores
v_{1}=(1,2,3),\quad v_{2}=(2,1,-2),\quad v_{3}=(3,1,1),\quad v_{4}=(4,-1,2).
Informações relevantes dadas:
  • As três equações acima são as equações lineares que os coeficientes x,y,z,t devem satisfazer.
  • Os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 estão listados e esperamos produzir coeficientes x,y,z,t, não todos nulos, tais que
xv_1+yv_2+zv_3+tv_4=0.
Observação importante (incerteza): a terceira equação do sistema tem termo -2t, enquanto o terceiro componente de v_4 dado é +2. Isso é uma inconsistência entre o sistema e os vetores apresentados. Não tenho certeza se o enunciado quis v_4=(4,-1,-2) (com terceiro componente -2) ou se houve outro desvio. Para que os coeficientes do sistema correspondam a uma combinação linear nula dos vetores, devo assumir que a terceira componente de v_4 é -2. Vou seguir essa hipótese (isto é, usar v_4=(4,-1,-2)), porque assim o sistema corresponde exatamente às equações obtidas ao escrever xv_1+yv_2+zv_3+tv_4=0.]

Passo 2

Estratégia de resolução (explicação didática do método): vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) para resolver o sistema homogêneo. A ideia da eliminação de Gauss é escrever a matriz dos coeficientes, aplicar operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo) para levar a matriz a uma forma escalonada, e então ler as relações entre variáveis. Operações elementares não mudam o conjunto de soluções. Como é um sistema homogêneo, a solução trivial é sempre x=y=z=t=0; queremos uma solução não-trivial, portanto devemos encontrar variáveis livres e escolher valores adequados.

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes (sem a coluna de zeros, pois é homogêneo) e aplicando as operações iniciais.
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}
Uso R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 para zerar a primeira coluna abaixo da primeira linha.
Cálculo de R_2:
(2,1,1,-1) - 2(1,2,3,4) = (2-2,\;1-4,\;1-6,\;-1-8) = (0,-3,-5,-9).
Cálculo de R_3:
(3,-2,1,-2) - 3(1,2,3,4) = (3-3,\;-2-6,\;1-9,\;-2-12) = (0,-8,-8,-14).
Matriz após essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] 0 & -3 & -5 & -9\\[4pt] 0 & -8 & -8 & -14 \end{pmatrix}]

Passo 4

Agora vamos transformar as últimas duas linhas em equações para facilitar o trabalho. Cada linha corresponde a uma equação homogênea:
Da linha 2: -3y -5z -9t = 0. Podemos escrever
-3y -5z -9t = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{5}{3}z -3t.
Da linha 3: -8y -8z -14t = 0. Podemos escrever
-8y -8z -14t = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -z -\frac{14}{8}t = -z -\frac{7}{4}t.
Como ambas expressões representam y, igualamos:
-\frac{5}{3}z -3t = -z -\frac{7}{4}t.

Passo 5

Resolver a igualdade para relacionar z e t. Para evitar frações imediatas, multiplico toda a igualdade por 12 (MMC de 3 e 4):
12\left(-\frac{5}{3}z -3t\right) = 12\left(-z -\frac{7}{4}t\right).
Cálculo:
-20z -36t = -12z -21t.
Passo seguinte: passar todos os termos para um lado:
-20z +12z -36t +21t = 0 \quad\Longrightarrow\quad -8z -15t = 0.
Assim
8z +15t = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{15}{8}t.
Portanto z é proporcional a t; temos uma variável livre (escolhemos t como parâmetro).

Passo 6

Escolher um valor conveniente para o parâmetro t para obter coeficientes inteiros simples. Como z = -\tfrac{15}{8}t, escolher t=8 elimina o denominador e dá z=-15. Com t=8 temos:
Calcule z:
z = -\frac{15}{8}\cdot 8 = -15.
Calcule y usando, por exemplo, y = -z -\frac{7}{4}t:
y = -(-15) -\frac{7}{4}\cdot 8 = 15 - 14 = 1.
Calcule x usando a primeira equação \;x+2y+3z+4t=0:
x + 2\cdot 1 + 3\cdot(-15) + 4\cdot 8 = 0
x +2 -45 +32 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x -11 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 11.
Portanto encontramos a solução não-trivial inteira
(x,y,z,t) = (11,\,1,\,-15,\,8).

Passo 7

Verificação rápida das três equações para garantir que não houve erro:
Primeira equação:
11 + 2\cdot 1 + 3\cdot(-15) + 4\cdot 8 = 11 +2 -45 +32 = 0.
Segunda equação:
2\cdot 11 + 1 + (-15) - 8 = 22 +1 -15 -8 = 0.
Terceira equação (usando o coeficiente -2 de t como no sistema):
3\cdot 11 -2\cdot 1 + (-15) -2\cdot 8 = 33 -2 -15 -16 = 0.
Tudo confere.
Também vale observar a forma geral da solução: como o sistema homogêneo tem uma única liberdade (um parâmetro), o espaço de soluções é gerado pelo vetor (11,1,-15,8). Ou seja, todas as soluções são s(11,1,-15,8) para s\in\mathbb{R}.

Passo 8

Usando a solução encontrada para obter a combinação linear nula dos vetores: sob a hipótese (informada no Passo 1) de que o terceiro componente de v_4 é -2 (isto é, v_4=(4,-1,-2)), os coeficientes x,y,z,t=(11,1,-15,8) satisfazem
11v_1 + 1\cdot v_2 -15v_3 + 8v_4 = 0.
Verificação coordenada a coordenada (com v_4 ajustado para terceiro componente -2):
Primeira coordenada:
11\cdot 1 + 1\cdot 2 + (-15)\cdot 3 + 8\cdot 4 = 11+2-45+32 = 0.
Segunda coordenada:
11\cdot 2 + 1\cdot 1 + (-15)\cdot 1 + 8\cdot(-1) = 22+1-15-8 = 0.
Terceira coordenada (com v_4 valendo -2 na terceira componente):
11\cdot 3 + 1\cdot(-2) + (-15)\cdot 1 + 8\cdot(-2) = 33-2-15-16 = 0.
Tudo fecha: obtemos, portanto, uma combinação linear não-trivial nula dos vetores.

Resposta

(x,y,z,t)=(11,1,-15,8)\n
11v_{1}+v_{2}-15v_{3}+8v_{4}=0

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