Ache uma solução não-trivial para o sistema homogêneo: \left\{\begin{array}{c}x+2 y+3 z+4 t=0 \\\\ 2 x+y+z-t=0 \\\\ 3 x-2 y+z-2 t=0\end{array}\right. e, a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores
As três equações acima são as equações lineares que os coeficientes x,y,z,t devem satisfazer.
Os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 estão listados e esperamos produzir coeficientes x,y,z,t, não todos nulos, tais que
xv_1+yv_2+zv_3+tv_4=0.
Observação importante (incerteza): a terceira equação do sistema tem termo -2t, enquanto o terceiro componente de v_4 dado é +2. Isso é uma inconsistência entre o sistema e os vetores apresentados. Não tenho certeza se o enunciado quis v_4=(4,-1,-2) (com terceiro componente -2) ou se houve outro desvio. Para que os coeficientes do sistema correspondam a uma combinação linear nula dos vetores, devo assumir que a terceira componente de v_4 é -2. Vou seguir essa hipótese (isto é, usar v_4=(4,-1,-2)), porque assim o sistema corresponde exatamente às equações obtidas ao escrever xv_1+yv_2+zv_3+tv_4=0.]
Passo 2
Estratégia de resolução (explicação didática do método): vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) para resolver o sistema homogêneo. A ideia da eliminação de Gauss é escrever a matriz dos coeficientes, aplicar operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo) para levar a matriz a uma forma escalonada, e então ler as relações entre variáveis. Operações elementares não mudam o conjunto de soluções. Como é um sistema homogêneo, a solução trivial é sempre x=y=z=t=0; queremos uma solução não-trivial, portanto devemos encontrar variáveis livres e escolher valores adequados.
Passo 3
Escrevendo a matriz dos coeficientes (sem a coluna de zeros, pois é homogêneo) e aplicando as operações iniciais.
8z +15t = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{15}{8}t.
Portanto z é proporcional a t; temos uma variável livre (escolhemos t como parâmetro).
Passo 6
Escolher um valor conveniente para o parâmetro t para obter coeficientes inteiros simples. Como z = -\tfrac{15}{8}t, escolher t=8 elimina o denominador e dá z=-15. Com t=8 temos:
Calcule z:
z = -\frac{15}{8}\cdot 8 = -15.
Calcule y usando, por exemplo, y = -z -\frac{7}{4}t:
y = -(-15) -\frac{7}{4}\cdot 8 = 15 - 14 = 1.
Calcule x usando a primeira equação \;x+2y+3z+4t=0:
x + 2\cdot 1 + 3\cdot(-15) + 4\cdot 8 = 0
x +2 -45 +32 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x -11 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 11.
Portanto encontramos a solução não-trivial inteira
(x,y,z,t) = (11,\,1,\,-15,\,8).
Passo 7
Verificação rápida das três equações para garantir que não houve erro:
Também vale observar a forma geral da solução: como o sistema homogêneo tem uma única liberdade (um parâmetro), o espaço de soluções é gerado pelo vetor (11,1,-15,8). Ou seja, todas as soluções são s(11,1,-15,8) para s\in\mathbb{R}.
Passo 8
Usando a solução encontrada para obter a combinação linear nula dos vetores: sob a hipótese (informada no Passo 1) de que o terceiro componente de v_4 é -2 (isto é, v_4=(4,-1,-2)), os coeficientes x,y,z,t=(11,1,-15,8) satisfazem
11v_1 + 1\cdot v_2 -15v_3 + 8v_4 = 0.
Verificação coordenada a coordenada (com v_4 ajustado para terceiro componente -2):