Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{S}}(\vec{i}+5 \vec{j}+9 \vec{k}) \cdot d \vec{S}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo constante \vec F = \vec i + 5\vec j + 9\vec k
através da esfera \mathcal S de centro na origem e raio a, com orientação para fora.
O conteúdo é integral de superfície (fluxo) de campo constante em superfície fechada, e vamos usar simetria sem parametrizar nem usar o teorema da divergência.

Passo 2

Como \vec F é constante, podemos escrever
\iint_{\mathcal S}\vec F\cdot d\vec S = \vec F\cdot \iint_{\mathcal S}d\vec S.

Passo 3

Pela simetria da esfera, o vetor
\iint_{\mathcal S}d\vec S
(isto é, a soma de todos os vetores normais externos vezes a área de cada elemento) se anula, pois para cada elemento d\vec S existe o elemento oposto -d\vec S. Logo
\iint_{\mathcal S}d\vec S = \vec 0
e assim
\iint_{\mathcal S}\vec F\cdot d\vec S = \vec F\cdot \vec 0 = 0.

Resposta

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