Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{S}}\left(x^{2} z \vec{i}-x^{3} \vec{k}\right) \cdot d \vec{S}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}z\,\mathbf{i}-x^{3}\,\mathbf{k}
através da esfera \mathcal{S} de centro na origem e raio a, com orientação exterior. O conteúdo é cálculo de fluxo em superfície fechada, e vamos usar a expressão direta
\iint_{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
sabendo que para a esfera o vetor normal unitário externo é simples.

Passo 2

Em cada ponto da esfera de raio a temos o vetor normal unitário
\mathbf{n}=\frac{(x,y,z)}{a}.

Passo 3

Calculamos o produto interno
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =\bigl(x^{2}z,\,0,\,-x^{3}\bigr)\cdot\frac{(x,y,z)}{a} =\frac{x^{2}z\cdot x+0\cdot y+(-x^{3})\cdot z}{a} =\frac{x^{3}z - x^{3}z}{a} =0.

Passo 4

Como o integrando \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é zero em toda a esfera, o fluxo é
\iint_{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{\mathcal{S}}0\,dS =0.

Resposta

0

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