Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da esfera de centro na origem e raio
, com orientação exterior. O conteúdo é cálculo de fluxo em superfície fechada, e vamos usar a expressão direta
através da esfera
sabendo que para a esfera o vetor normal unitário externo é simples.
Passo 2
Em cada ponto da esfera de raio
temos o vetor normal unitário
Passo 3
Calculamos o produto interno
Passo 4
Como o integrando
é zero em toda a esfera, o fluxo é