Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo constante
através da esfera de centro na origem e raio
, com orientação para fora.
O conteúdo é integral de superfície (fluxo) de campo constante em superfície fechada, e vamos usar simetria sem parametrizar nem usar o teorema da divergência.
através da esfera
O conteúdo é integral de superfície (fluxo) de campo constante em superfície fechada, e vamos usar simetria sem parametrizar nem usar o teorema da divergência.
Passo 2
Como
é constante, podemos escrever
Passo 3
Pela simetria da esfera, o vetor
(isto é, a soma de todos os vetores normais externos vezes a área de cada elemento) se anula, pois para cada elemento
existe o elemento oposto
. Logo
e assim