Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{C}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\mathcal{C}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS
onde \mathcal{C} é a superfície lateral de um cilindro de raio a e altura h. O conteúdo aqui é integral de superfície escalar e vamos usar simetria (o cilindro tem raio constante) para não precisar parametrizar nem usar o teorema da divergência.

Passo 2

Num ponto qualquer da superfície lateral do cilindro, (x,y) satisfazem
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
Logo o integrando é constante e vale a^{2} em toda \mathcal{C}.

Passo 3

A área da superfície lateral de um cilindro de raio a e altura h é
\text{Área}(\mathcal{C}) =(\text{circunferência})\times(\text{altura}) =2\pi a\cdot h.Áê

Passo 4

Como o integrando é constante, a integral se reduz a esse valor vezes a área:
\iint_{\mathcal{C}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS = a^{2}\times(2\pi a\,h) =2\pi\,a^{3}\,h.

Resposta

\iint_{\mathcal{C}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS = 2\pi\,a^{3}\,h.

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