Seja \mathcal{F}((0, \infty), \mathbb{R}) o espaço vetorial das funções reais definidas em ( 0, \infty ). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes.
\left\{\cos x, \cos ^{2} x, \cos ^{3} x\right\}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
\{\cos x,\;\cos^2 x,\;\cos^3 x\}
é linearmente independente no espaço vetorial \mathcal{F}((0,\infty),\mathbb{R}).
Isto significa testar se
a\,\cos x \;+\; b\,\cos^2 x \;+\; c\,\cos^3 x \;=\;0
para todo x>0 implica necessariamente a=b=c=0.

Passo 2

Para separar componentes “independentes”, usamos as identidades trigonométricas:
\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}, \qquad \cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos(3x)}{4}.
Substituindo na combinação linear,
a\,\cos x \;+\; b\,\frac{1+\cos(2x)}{2} \;+\; c\,\frac{3\cos x + \cos(3x)}{4} \;=\;0.

Passo 3

Multiplicamos tudo por 4 para eliminar denominadores e agrupamos conforme as funções \{1,\cos x,\cos(2x),\cos(3x)\}:
4a\,\cos x \;+\;2b\,(1+\cos(2x))\;+\;c\,(3\cos x + \cos(3x))=0
\Longrightarrow 2b \;+\;(4a+3c)\cos x \;+\;2b\cos(2x)\;+\;c\cos(3x)=0.
Como 1, \cos x, \cos(2x) e \cos(3x) são funções linearmente independentes, seus coeficientes devem ser nulos:
2b=0,\quad 4a+3c=0,\quad 2b=0,\quad c=0
daí b=0, c=0 e logo a=0.

Resposta

O conjunto \{\cos x,\;\cos^2 x,\;\cos^3 x\} é linearmente independente.

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