Seja
o espaço vetorial das funções reais definidas em (
). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente no espaço vetorial .
Isto significa testar se
é linearmente independente no espaço vetorial
Isto significa testar se
para todo
implica necessariamente
.
Passo 2
Para separar componentes “independentes”, usamos as identidades trigonométricas:
Substituindo na combinação linear,
Passo 3
Multiplicamos tudo por
para eliminar denominadores e agrupamos conforme as funções
:
Como
,
,
e
são funções linearmente independentes, seus coeficientes devem ser nulos:
daí
,
e logo
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.