Seja \mathcal{F}((0, \infty), \mathbb{R}) o espaço vetorial das funções reais definidas em ( 0, \infty ). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes.
\left\{e^{x}, x e^{x}, x^{2} e^{x}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\{e^{x},\,x e^{x},\,x^{2}e^{x}\}\subset \mathcal{F}((0,\infty),\mathbb{R}) é linearmente independente.
Lembrando a definição: um conjunto de funções \{f_1,f_2,f_3\} é linearmente independente se, da combinação linear
\alpha f_1(x)+\beta f_2(x)+\gamma f_3(x)=0\quad\text{para todo }x,
segue que \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que, para todo x>0,
\alpha e^{x}+\beta x e^{x}+\gamma x^{2}e^{x}=0.
Como e^{x}>0 em (0,\infty), podemos fatorar e^{x} e obter
e^{x}\bigl(\alpha+\beta x+\gamma x^{2}\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \alpha+\beta x+\gamma x^{2}=0 \quad\text{para todo }x>0.

Passo 3

A expressão \alpha+\beta x+\gamma x^{2} é um polinômio de grau ≤2 que se anula em todo intervalo (0,\infty). Isso só ocorre se
\alpha=0,\quad\beta=0,\quad\gamma=0.
Logo, a única combinação linear que gera a função zero é a trivial.

Resposta

O conjunto \{e^{x},\,x e^{x},\,x^{2}e^{x}\} é linearmente independente.

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