Seja
o espaço vetorial das funções reais definidas em (
). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a independência linear do conjunto
no espaço
. Vamos usar a definição: essas funções são linearmente independentes se a única solução da combinação
for
. Para isso, vamos primeiro escrever
em função de
e
.
Passo 2
Usamos a identidade de ângulo somado:
Passo 3
Substituindo em
vem
ou seja
para todo
.
Passo 4
Como
Isso é um sistema de
incógnitas, logo há soluções não-triviais (grau de liberdade
). Concluímos que
são linearmente dependentes.
Passo 5
Para qualquer par de funções retirado desse conjunto, por exemplo
ou
, o único sistema a \cdot \sin x + b \cdot f(x) = 0 (onde
é a outra função) leva a
pois não há forma de expressar uma como múltiplo da outra. Portanto, todo subconjunto de dois elementos é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente, e todo subconjunto de dois dessas funções é linearmente independente.