Seja \mathcal{F}((0, \infty), \mathbb{R}) o espaço vetorial das funções reais definidas em ( 0, \infty ). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes.
{\sin x, \sin (x+1), \cos x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a independência linear do conjunto \{\sin x,\sin(x+1),\cos x\} no espaço \mathcal{F}((0,\infty),\mathbb{R}). Vamos usar a definição: essas funções são linearmente independentes se a única solução da combinação
a\,\sin x + b\,\sin(x+1) + c\,\cos x = 0\quad\text{para todo }x>0
for a=b=c=0. Para isso, vamos primeiro escrever \sin(x+1) em função de \sin x e \cos x.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo somado:
\sin(x+1) = \sin x\,\cos1 + \cos x\,\sin1.

Passo 3

Substituindo em
a\,\sin x + b\,\sin(x+1) + c\,\cos x = 0
vem
a\,\sin x + b\bigl(\sin x\,\cos1 + \cos x\,\sin1\bigr) + c\,\cos x = 0,
ou seja
\bigl(a + b\cos1\bigr)\sin x + \bigl(b\sin1 + c\bigr)\cos x = 0
para todo x.

Passo 4

Como \sin x\) e \(\cos x\) são independentes, os coeficientes devem anular: \[\begin{cases} a + b\cos1 = 0,\\\ b\sin1 + c = 0. \end{cases}
Isso é um sistema de 2\] equações em \(3 incógnitas, logo há soluções não-triviais (grau de liberdade 1). Concluímos que \sin x,\sin(x+1),\cos x são linearmente dependentes.

Passo 5

Para qualquer par de funções retirado desse conjunto, por exemplo \{\sin x,\cos x\} ou \{\sin x,\sin(x+1)\}, o único sistema a \cdot \sin x + b \cdot f(x) = 0 (onde f é a outra função) leva a a = b = 0 pois não há forma de expressar uma como múltiplo da outra. Portanto, todo subconjunto de dois elementos é linearmente independente.

Resposta

O conjunto \{\sin x,\sin(x+1),\cos x\} é linearmente dependente, e todo subconjunto de dois dessas funções é linearmente independente.

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