Seja
o espaço vetorial das funções reais definidas em (
). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente. Para isso, usamos a definição: se
implica
, então o conjunto é independente.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
para todo
. Essa é nossa equação (1).
Passo 3
Como (1) vale para todo
, podemos derivar em relação a
. Derivando, obtemos
para todo
. Essa é a equação (2).
Passo 4
Subtraindo (1) de (2) temos
Isto é,
para todo
.
Passo 5
Escolhendo
nesta última relação, vem
Com
, a equação
reduz-se a
para todo
, logo, pegando
, segue
.
Passo 6
Tendo
e
, a equação (2) fica
para todo
, o que só é possível se
.
Resposta
As únicas soluções são
. Portanto,
é um conjunto de vetores linearmente independente.