Seja \mathcal{F}((0, \infty), \mathbb{R}) o espaço vetorial das funções reais definidas em ( 0, \infty ). Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes.
\left\{e^{x}, \ln x, x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções \{e^x,\ln x,x\}\subset\mathcal{F}((0,\infty),\mathbb{R}) é linearmente independente. Para isso, usamos a definição: se
a\,e^x + b\,\ln x + c\,x = 0\quad\text{para todo }x>0
implica a=b=c=0, então o conjunto é independente.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\,e^x + b\,\ln x + c\,x = 0
para todo x>0. Essa é nossa equação (1).

Passo 3

Como (1) vale para todo x, podemos derivar em relação a x. Derivando, obtemos
a\,e^x + \frac{b}{x} + c = 0
para todo x>0. Essa é a equação (2).

Passo 4

Subtraindo (1) de (2) temos
\bigl(a\,e^x + \tfrac{b}{x} + c\bigr)\;-\;\bigl(a\,e^x + b\,\ln x + c\,x\bigr) = \frac{b}{x} - b\ln x + c - c\,x = 0.
Isto é,
b\!\Bigl(\frac{1}{x}-\ln x\Bigr)+c\,(1-x)=0
para todo x>0.

Passo 5

Escolhendo x=1 nesta última relação, vem
b\bigl(1-0\bigr)+c\,(1-1)=b=0.
Com b=0, a equação b(1/x-\ln x)+c(1-x)=0 reduz-se a c(1-x)=0 para todo x, logo, pegando x\neq1, segue c=0.

Passo 6

Tendo b=0 e c=0, a equação (2) fica
a\,e^x = 0
para todo x, o que só é possível se a=0.

Resposta

As únicas soluções são a=b=c=0. Portanto, \{e^x,\ln x,x\} é um conjunto de vetores linearmente independente.

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