Seja V=\mathbb{R}^{3} o espaço vetorial dos vetores no espaço. Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes \{(1,2,3),(3,2,1),(1,1,1),(2,3,1)\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais subconjuntos formados pelos vetores \,(1,2,3),\;(3,2,1),\;(1,1,1),\;(2,3,1) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes.
Como estamos em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto com mais de três vetores será necessariamente linearmente dependente.
Passo 2
Logo, o conjunto com os quatro vetores é dependente. Resta então examinar todos os subconjuntos de três vetores e testar a independência. Usamos o critério do determinante: três vetores são independentes se, ao colocá-los como linhas (ou colunas) de uma matriz 3\times3, o determinante for diferente de zero.
Qualquer subconjunto com até dois vetores é sempre independente (nenhum par é colinear).
O conjunto de quatro vetores é dependente por ter tamanho maior que a dimensão do espaço.
Resposta
Os subconjuntos linearmente independentes são:
Todos os pares de vetores (há \binom{4}{2}=6 pares).
Todos os trios, exceto \{(1,2,3),(3,2,1),(1,1,1)\}.
Em particular, as tríades independentes de três vetores são \{(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)\}, \{(1,2,3),(1,1,1),(2,3,1)\} e \{(3,2,1),(1,1,1),(2,3,1)\}.
O conjunto completo dos quatro vetores é linearmente dependente.