Seja V=\mathbb{R}^{3} o espaço vetorial dos vetores no espaço. Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
\{(1,2,3),(3,2,1),(1,1,1),(2,3,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais subconjuntos formados pelos vetores
\,(1,2,3),\;(3,2,1),\;(1,1,1),\;(2,3,1) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes.
Como estamos em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto com mais de três vetores será necessariamente linearmente dependente.

Passo 2

Logo, o conjunto com os quatro vetores é dependente. Resta então examinar todos os subconjuntos de três vetores e testar a independência. Usamos o critério do determinante: três vetores são independentes se, ao colocá-los como linhas (ou colunas) de uma matriz 3\times3, o determinante for diferente de zero.

Passo 3

Para cada tripla (v_i,v_j,v_k) calculamos
\det(v_i,v_j,v_k) =\det\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot\\\ \cdot & \cdot & \cdot\\\ \cdot & \cdot & \cdot \end{pmatrix}
e verificamos se é zero ou não.

Passo 4

Tripla \{(1,2,3),(3,2,1),(1,1,1)\}:
\det\begin{pmatrix} 1&2&3\\\\ 3&2&1\\\\ 1&1&1 \end{pmatrix} =1\,(2\cdot1-1\cdot1)-2\,(3\cdot1-1\cdot1)+3\,(3\cdot1-2\cdot1) =1-4+3=0
Portanto essa tripla é linearmente dependente.
Tripla \{(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)\}:
\det\begin{pmatrix} 1&2&3\\\\ 3&2&1\\\\ 2&3&1 \end{pmatrix} =12\neq0
Logo é linearmente independente.
Tripla \{(1,2,3),(1,1,1),(2,3,1)\}:
\det\begin{pmatrix} 1&2&3\\\\ 1&1&1\\\\ 2&3&1 \end{pmatrix} =3\neq0
Logo é linearmente independente.
Tripla \{(3,2,1),(1,1,1),(2,3,1)\}:
\det\begin{pmatrix} 3&2&1\\\\ 1&1&1\\\\ 2&3&1 \end{pmatrix} =-3\neq0
Logo é linearmente independente.

Passo 5

Qualquer subconjunto com até dois vetores é sempre independente (nenhum par é colinear).
O conjunto de quatro vetores é dependente por ter tamanho maior que a dimensão do espaço.

Resposta

Os subconjuntos linearmente independentes são:
  • Todos os pares de vetores (há \binom{4}{2}=6 pares).
  • Todos os trios, exceto \{(1,2,3),(3,2,1),(1,1,1)\}.
    Em particular, as tríades independentes de três vetores são
    \{(1,2,3),(3,2,1),(2,3,1)\},
    \{(1,2,3),(1,1,1),(2,3,1)\} e
    \{(3,2,1),(1,1,1),(2,3,1)\}.
    O conjunto completo dos quatro vetores é linearmente dependente.

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