Seja
o espaço vetorial de todas as funções de
em
. Considere
o conjunto de todas as funções ímpares, isto é, as funções para as quais
. Mostre que
é subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções
e o subconjunto
ou seja, todas as funções ímpares. Para mostrar que
é subespaço precisamos verificar que
-
, - se
então (fechamento sob soma), - se
e então (fechamento sob multiplicação escalar).
Passo 2
Para garantir que
não é vazio, consideramos a função nula
dada por
Como
, temos
. Logo,
.
Passo 3
Agora mostramos fechamento sob soma. Sejam
. Então, para todo
,
Portanto
satisfaz a condição de ímpar e pertence a
.
Passo 4
Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Para todo
vale
Logo
também é ímpar, isto é,
.
Passo 5
Como
contém a função nula e está fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.