Seja \mathcal{F}(\mathbb{R}) o espaço vetorial de todas as funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Considere W o conjunto de todas as funções ímpares, isto é, as funções para as quais f(-x)=-f(x). Mostre que W é subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R}) de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R} e o subconjunto
W = \{\,f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f(-x) = -f(x)\,\},
ou seja, todas as funções ímpares. Para mostrar que W é subespaço precisamos verificar que
  1. W\neq\varnothing,
  2. se f,g\in W então f+g\in W (fechamento sob soma),
  3. se f\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda f\in W (fechamento sob multiplicação escalar).

Passo 2

Para garantir que W não é vazio, consideramos a função nula f_0\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f_0(x)=0,\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Como f_0(-x)=0=-0=-f_0(x), temos f_0\in W. Logo, W\neq\varnothing.

Passo 3

Agora mostramos fechamento sob soma. Sejam f,g\in W. Então, para todo x\in\mathbb{R},
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-(f+g)(x).
Portanto f+g satisfaz a condição de ímpar e pertence a W.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja f\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Para todo x\in\mathbb{R} vale
(\lambda f)(-x)=\lambda\,f(-x)=\lambda\bigl(-f(x)\bigr)=-\lambda\,f(x)=-(\lambda f)(x).
Logo \lambda f também é ímpar, isto é, \lambda f\in W.

Passo 5

Como W contém a função nula e está fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

Resposta

W é subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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