Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um espaço vetorial e se
é um subespaço de
.
O conteúdo aqui é o teste de subespaço: precisamos mostrar que não é vazio (contém o vetor zero), que é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalar.
O conteúdo aqui é o teste de subespaço: precisamos mostrar que
Passo 2
Verificar que o vetor zero está em
.
O vetor zero em é
. Substituindo na equação definidora de
:
O vetor zero em
Como dá zero, então
. Logo,
não é vazio e passa no primeiro requisito.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma.
Suponha
Suponha
Isso significa
Considere
. Então
Logo
, provando a estabilidade de
pela soma.
Passo 4
Verificar fechamento sob escalar.
Seja e
, ou seja
Seja
Então
satisfaz
Assim
, mostrando que
é estável por multiplicação por escalar.