Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x+2 y+z=0 \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \mathbb{R}^3
é um espaço vetorial e se
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x + 2y + z = 0\}
é um subespaço de V.
O conteúdo aqui é o teste de subespaço: precisamos mostrar que W não é vazio (contém o vetor zero), que é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero está em W.
O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo na equação definidora de W:
2\cdot 0 + 2\cdot 0 + 0 = 0.
Como dá zero, então (0,0,0)\in W. Logo, W não é vazio e passa no primeiro requisito.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Suponha
u = (x_1,y_1,z_1)\in W,\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Isso significa
2x_1 + 2y_1 + z_1 = 0 \quad\text{e}\quad 2x_2 + 2y_2 + z_2 = 0.
Considere u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Então
2(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (2x_1+2y_1+z_1) + (2x_2+2y_2+z_2) = 0 + 0 = 0.
Logo u+v\in W, provando a estabilidade de W pela soma.

Passo 4

Verificar fechamento sob escalar.
Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in W, ou seja
2x + 2y + z = 0.
Então \lambda u = (\lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z) satisfaz
2(\lambda x) + 2(\lambda y) + (\lambda z) = \lambda\,(2x + 2y + z) = \lambda\cdot 0 = 0.
Assim \lambda u\in W, mostrando que W é estável por multiplicação por escalar.

Resposta

W satisfaz todos os critérios de subespaço (contém o zero, fechado sob soma e fechado sob escalar), logo W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados