Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{4}, w=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z+w=0\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = \mathbb{R}^4 e o subconjunto
W = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y+z+w=0\}.
O conteúdo aqui é verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar os critérios básicos de subespaço:
  1. Não-vazio (contém o vetor zero).
  2. Fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) pertence a W. Como
0 + 0 + 0 + 0 = 0,
temos (0,0,0,0)\in W. Assim, W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam
u = (x_1,y_1,z_1,w_1)\in W \quad\text{e}\quad v = (x_2,y_2,z_2,w_2)\in W.
Como u\in W, x_1+y_1+z_1+w_1=0. E v\in W implica x_2+y_2+z_2+w_2=0. Então,
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;w_1+w_2)
satisfaz
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)+(w_1+w_2) =(x_1+y_1+z_1+w_1)+(x_2+y_2+z_2+w_2)=0+0=0,
portanto u+v\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e
u = (x,y,z,w)\in W,
isto é, x+y+z+w=0. Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z,\;\alpha w)
e
\alpha x + \alpha y + \alpha z + \alpha w =\alpha(x+y+z+w)=\alpha\cdot 0=0,
logo \alpha u\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

W é de fato um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

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