Sejam
e
duas matrizes
, sendo
invertível. Prove as afirmações abaixo:
Se
, então
não é invertível.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes . -
é invertível (essa informação não será necessária aqui, mas foi dada). - Sabe-se que
, onde é a matriz zero .
O que precisa ser provado: mostrar que, sob a hipótese
, a matriz
não é invertível.
Passo 2
Lembrar o que significa “invertível” e algumas propriedades úteis:
- Dizemos que uma matriz quadrada
é invertível se existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade.
- Uma propriedade importantíssima dos determinantes é que, para quaisquer matrizes quadradas
e compatíveis,
- Outra propriedade simples: a matriz zero
tem determinante zero,
pois todas as linhas são nulas, e por definição do determinante isso dá zero.
- Finalmente, uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Em particular, se
então não é invertível. (Se , o inverso pode ser dado, por exemplo, por .)
Vou usar essas ideias para provar a afirmação.
Passo 3
Aplicar determinante à igualdade dada
. Tomando determinante em ambos os lados obtemos
Pelo item anterior, sabemos que
. Portanto
Passo 4
Usar a propriedade multiplicativa do determinante:
. Substituindo na igualdade do passo anterior:
Daqui segue imediatamente que
Passo 5
Concluir a partir da equivalência entre determinante nulo e não invertibilidade: como
, a matriz
não possui inversa. Logo
não é invertível, que é exatamente o que queríamos provar.
Passo 6
Observação alternativa (prova por contradição, curta, para intuição): suponha, por absurdo, que
fosse invertível. Multiplicando
à esquerda por
obtém-se
ou seja,
. Mas a matriz zero não é invertível, contradição com a hipótese de que
era invertível. Portanto
não pode ser invertível. (Isso complementa e confirma a prova com determinantes.)