Sejam mathcal{A} e mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3, sendo mathcal{B} invertível. Prove as afirmações abaixo:
Se \mathcal{A}^{2}=\mathcal{O}, então \mathcal{A} não é invertível.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \mathcal{A} e \mathcal{B} são matrizes 3\times3.
  • \mathcal{B} é invertível (essa informação não será necessária aqui, mas foi dada).
  • Sabe-se que \mathcal{A}^{2}=\mathcal{O}, onde \mathcal{O} é a matriz zero 3\times3.
O que precisa ser provado: mostrar que, sob a hipótese \mathcal{A}^{2}=\mathcal{O}, a matriz \mathcal{A} não é invertível.

Passo 2

Lembrar o que significa “invertível” e algumas propriedades úteis:
  • Dizemos que uma matriz quadrada M é invertível se existe uma matriz M^{-1} tal que
M M^{-1} = M^{-1} M = I,
onde I é a matriz identidade.
  • Uma propriedade importantíssima dos determinantes é que, para quaisquer matrizes quadradas X e Y compatíveis,
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
  • Outra propriedade simples: a matriz zero \mathcal{O} tem determinante zero,
\det(\mathcal{O})=0,
pois todas as linhas são nulas, e por definição do determinante isso dá zero.
  • Finalmente, uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Em particular, se \det(M)=0 então M não é invertível. (Se \det(M)\neq0, o inverso pode ser dado, por exemplo, por M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).)
Vou usar essas ideias para provar a afirmação.

Passo 3

Aplicar determinante à igualdade dada \mathcal{A}^{2}=\mathcal{O}. Tomando determinante em ambos os lados obtemos
\det\!\big(\mathcal{A}^{2}\big)=\det(\mathcal{O}).
Pelo item anterior, sabemos que \det(\mathcal{O})=0. Portanto
\det\!\big(\mathcal{A}^{2}\big)=0.

Passo 4

Usar a propriedade multiplicativa do determinante: \det(\mathcal{A}^{2})=\det(\mathcal{A}\mathcal{A})=\det(\mathcal{A})\det(\mathcal{A})=\det(\mathcal{A})^{2}. Substituindo na igualdade do passo anterior:
\det(\mathcal{A})^{2}=0.
Daqui segue imediatamente que
\det(\mathcal{A})=0.

Passo 5

Concluir a partir da equivalência entre determinante nulo e não invertibilidade: como \det(\mathcal{A})=0, a matriz \mathcal{A} não possui inversa. Logo \mathcal{A} não é invertível, que é exatamente o que queríamos provar.

Passo 6

Observação alternativa (prova por contradição, curta, para intuição): suponha, por absurdo, que \mathcal{A} fosse invertível. Multiplicando \mathcal{A}^{2}=\mathcal{O} à esquerda por \mathcal{A}^{-1} obtém-se
\mathcal{A} = \mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}^{2} = \mathcal{A}^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O},
ou seja, \mathcal{A}=\mathcal{O}. Mas a matriz zero não é invertível, contradição com a hipótese de que \mathcal{A} era invertível. Portanto \mathcal{A} não pode ser invertível. (Isso complementa e confirma a prova com determinantes.)

Resposta

\mathcal{A} não é invertível.

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