(3.0) Os vetores u=(1,1,1), v=(1,2,3) e w=(2,-1,1) formam uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá três vetores do espaço \mathbb{R}^3:
u=(1,1,1),\qquad v=(1,2,3),\qquad w=(2,-1,1).
A pergunta é: esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^3? É preciso justificar a resposta.

Passo 2

O que significa "formar uma base de \mathbb{R}^3"? Uma família de vetores é base de \mathbb{R}^3 se é linearmente independente e gera (ou seja, seu span é) todo \mathbb{R}^3. Um fato muito útil e prático é o seguinte: em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto com exatamente três vetores é uma base se, e somente se, os três vetores forem linearmente independentes. Portanto basta testar se u,v,w são linearmente independentes. Uma maneira rápida de testar isso é montar a matriz que tem esses vetores como colunas e calcular seu determinante: se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes.

Passo 3

Montamos a matriz A cujas colunas são u,v,w:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2 usando \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1-(-1)\cdot3=2+3=5,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1-(-1)\cdot1=1+1=2,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} =1\cdot3-2\cdot1=3-2=1.
Substituindo na fórmula:
\det(A)=1\cdot5-1\cdot2+2\cdot1=5-2+2=5.]

Passo 5

Obtivemos \det(A)=5, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz A é invertível e, consequentemente, suas colunas u,v,w são linearmente independentes. Como temos exatamente três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, eles também geram todo \mathbb{R}^3. Portanto esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^3. Vai dar tudo certo na prova — você já entendeu o método prático: montar a matriz e checar o determinante!

Resposta

Sim. Formam uma base de \mathbb{R}^3, pois a matriz cujas colunas são u,v,w tem determinante \det=5\neq0.

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