(3.0) Os vetores u=(1,1,1), v=(1,2,3) e w=(2,-1,1) formam uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} ? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá três vetores do espaço \mathbb{R}^3:
u=(1,1,1),\qquad v=(1,2,3),\qquad w=(2,-1,1).
A pergunta é: esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^3? É preciso justificar a resposta.
Passo 2
O que significa "formar uma base de \mathbb{R}^3"? Uma família de vetores é base de \mathbb{R}^3 se é linearmente independente e gera (ou seja, seu span é) todo \mathbb{R}^3. Um fato muito útil e prático é o seguinte: em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto com exatamente três vetores é uma base se, e somente se, os três vetores forem linearmente independentes. Portanto basta testar se u,v,w são linearmente independentes. Uma maneira rápida de testar isso é montar a matriz que tem esses vetores como colunas e calcular seu determinante: se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes.
Obtivemos \det(A)=5, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz A é invertível e, consequentemente, suas colunas u,v,w são linearmente independentes. Como temos exatamente três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, eles também geram todo \mathbb{R}^3. Portanto esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^3. Vai dar tudo certo na prova — você já entendeu o método prático: montar a matriz e checar o determinante!
Resposta
Sim. Formam uma base de \mathbb{R}^3, pois a matriz cujas colunas são u,v,w tem determinante \det=5\neq0.