Considere os subespaços vetoriais
e
de
definidos por:
Determine:
(a) (1.0) Um sistema de geradores de
.
(b) (1.0) Uma base e a dimensão de
.
(c) (2.0) Um sistema de geradores de
, uma base e a dimensão de
.
(d) (0.5) A dimensão do subespaço
.
(e) (0.5)
é soma direta de
com
? Justifique sua resposta.
(a) (1.0) Um sistema de geradores de
(b) (1.0) Uma base e a dimensão de
(c) (2.0) Um sistema de geradores de
(d) (0.5) A dimensão do subespaço
(e) (0.5)
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: \n
Temos os subespaços de
Temos os subespaços de
Perguntas:
(a) Um sistema de geradores de .\n
(b) Uma base e a dimensão de .\n
(c) Um sistema de geradores de , uma base e a dimensão de
.\n
(d) A dimensão do subespaço .\n
(e) é soma direta de
com
? Justifique.\n
Informações dadas úteis (listadas): a equação linear que define é
; a condição que define
é
. Não vamos resolver ainda, só identificar o que se pede e os dados disponíveis.
(a) Um sistema de geradores de
(b) Uma base e a dimensão de
(c) Um sistema de geradores de
(d) A dimensão do subespaço
(e)
Informações dadas úteis (listadas): a equação linear que define
Passo 2
Resolver (a): encontrar um sistema de geradores de
.\n
Explicação didática do método: um subespaço dado por uma equação linear tem liberdade em duas coordenadas (grau de liberdade = ). Podemos escolher duas coordenadas como parâmetros livres e escrever a terceira em função deles. Isso nos dá uma expressão paramétrica que imediatamente fornece geradores (vetores que, por combinação linear, geram todo o subespaço).\n
Aplicando: a condição é
Explicação didática do método: um subespaço dado por uma equação linear tem liberdade em duas coordenadas (grau de liberdade =
Aplicando: a condição é
Escolho parâmetros
e
para representar
e
: seja
e
. Então,
Portanto um vetor genérico de
é
Agora escrevo isso como combinação linear dos parâmetros:
Interpretação: todo vetor de
é uma combinação linear dos vetores
e
. Logo esses dois vetores geram
.\n
Observação sobre geradores: um “sistema de geradores” é apenas um conjunto cujo espaço linear gerado é exatamente . Não exigimos independência linear para ser um gerador.
Observação sobre geradores: um “sistema de geradores” é apenas um conjunto cujo espaço linear gerado é exatamente
Passo 3
Resolver (b): achar uma base e a dimensão de
.\n
Primeiro, represento vetores de usando a condição
. Um vetor genérico de
é
Primeiro, represento vetores de
Isso já dá um sistema gerador:
.\n
Agora verificar que esses dois vetores são linearmente independentes (para concluir que formam uma base). Fazer teste de independência: suponha que existam escalares tais que
Agora verificar que esses dois vetores são linearmente independentes (para concluir que formam uma base). Fazer teste de independência: suponha que existam escalares
Isso dá o sistema de equações
Da primeira equação vem
; das outras vem
. Logo a combinação trivial é a única; são linearmente independentes.\n
Conclusão: é uma base de
. A dimensão de
é o número de vetores da base, portanto
.\n
Breve explicação do conceito: uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e é linearmente independente; a dimensão é a quantidade de vetores numa base.
Conclusão:
Breve explicação do conceito: uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e é linearmente independente; a dimensão é a quantidade de vetores numa base.
Passo 4
Resolver (c): encontrar
(sistema de geradores, base e dimensão).\n
Método: um vetor em deve satisfazer simultaneamente as condições de
e de
. Ou seja, deve satisfazer
e
. Substituo
na equação de
:\n
Método: um vetor em
Portanto qualquer vetor em
tem a forma
. Isso é exatamente a forma dos vetores
. Logo
Assim um sistema de geradores é
. Esse conjunto tem um único vetor não-nulo, que é linearmente independente por si só; portanto é também uma base de
. A dimensão é
.\n
Exemplo concreto para fixeza: o vetor pertence a
porque sua segunda e terceira coordenadas coincidem, e pertence a
porque
.
Exemplo concreto para fixeza: o vetor
Passo 5
Resolver (d): dimensão de
.\n
Teorema útil (e muito prático em provas): para subespaços de um espaço vetorial finito vale a fórmula
Teorema útil (e muito prático em provas): para subespaços
Já temos
(Passo 3) e
(Passo 4). Falta
. Do Passo 2 vimos que
é gerado por dois vetores
e
. Verificamos agora que esses dois vetores são linearmente independentes: suponha
. Isso dá o sistema
Da segunda equação vem
; então da primeira
. Logo só a combinação trivial, então são independentes. Portanto
.\n
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Como verificação intuitiva:
tem dimensão
, que é a dimensão de
; portanto
.
Passo 6
Resolver (e):
é soma direta de
com
?\n
Definição rápida e útil: a soma é direta (escreve-se
) se e somente se
. Se a interseção contém algum vetor não-nulo, então a soma não é direta, porque um vetor da interseção pode ser escrito de duas maneiras como soma de elementos dos subespaços (outras palavras: representação não é única).\n
No Passo 4 vimos que , que contém o vetor não-nulo
. Logo
. Portanto a soma não é direta.\n
Observação final: apesar de (isto é, a soma gera todo
), a soma não é direta porque a interseção é maior que
. Um exemplo concreto mostrando a falta de unicidade de decomposição: o vetor
pertence simultaneamente a
e a
, então pode ser escrito como
com decomposições distintas nos dois subespaços.
Definição rápida e útil: a soma
No Passo 4 vimos que
Observação final: apesar de
Resposta
(a)
.\n
(b) Base: . Dimensão:
.\n
(c) Sistema de geradores de :
. Base:
. Dimensão:
.\n
(d) .\n
(e) Não. (por exemplo
), portanto a soma não é direta.
(b) Base:
(c) Sistema de geradores de
(d)
(e) Não.