Considere os subespaços vetoriais U e W de \mathbb{R}^{3} definidos por:
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y-z=0\right\} \quad \text { e } \quad W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=z\right\}
Determine:
(a) (1.0) Um sistema de geradores de U.
(b) (1.0) Uma base e a dimensão de W.
(c) (2.0) Um sistema de geradores de U \cap W, uma base e a dimensão de U \cap W.
(d) (0.5) A dimensão do subespaço U+W.
(e) (0.5) \mathbb{R}^{3} é soma direta de U com W ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: \n
Temos os subespaços de \mathbb{R}^{3}
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y-z=0\}
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=z\}.
Perguntas:
(a) Um sistema de geradores de U.\n
(b) Uma base e a dimensão de W.\n
(c) Um sistema de geradores de U\cap W, uma base e a dimensão de U\cap W.\n
(d) A dimensão do subespaço U+W.\n
(e) \mathbb{R}^{3} é soma direta de U com W? Justifique.\n
Informações dadas úteis (listadas): a equação linear que define U é x+y-z=0; a condição que define W é y=z. Não vamos resolver ainda, só identificar o que se pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Resolver (a): encontrar um sistema de geradores de U.\n
Explicação didática do método: um subespaço dado por uma equação linear tem liberdade em duas coordenadas (grau de liberdade = 3-1=2). Podemos escolher duas coordenadas como parâmetros livres e escrever a terceira em função deles. Isso nos dá uma expressão paramétrica que imediatamente fornece geradores (vetores que, por combinação linear, geram todo o subespaço).\n
Aplicando: a condição é
x+y-z=0.
Escolho parâmetros s e t para representar y e z: seja y=s e z=t. Então,
x = -y + z = -s + t.
Portanto um vetor genérico de U é
(x,y,z)=(-s+t,\; s,\; t).
Agora escrevo isso como combinação linear dos parâmetros:
(-s+t,\; s,\; t)=s(-1,1,0)+t(1,0,1).
Interpretação: todo vetor de U é uma combinação linear dos vetores (-1,1,0) e (1,0,1). Logo esses dois vetores geram U.\n
Observação sobre geradores: um “sistema de geradores” é apenas um conjunto cujo espaço linear gerado é exatamente U. Não exigimos independência linear para ser um gerador.

Passo 3

Resolver (b): achar uma base e a dimensão de W.\n
Primeiro, represento vetores de W usando a condição y=z. Um vetor genérico de W é
(x,y,y) = x(1,0,0) + y(0,1,1).
Isso já dá um sistema gerador: \{(1,0,0),\,(0,1,1)\}.\n
Agora verificar que esses dois vetores são linearmente independentes (para concluir que formam uma base). Fazer teste de independência: suponha que existam escalares a,b tais que
a(1,0,0) + b(0,1,1) = (0,0,0).
Isso dá o sistema de equações
a = 0,\quad b = 0,\quad b = 0.
Da primeira equação vem a=0; das outras vem b=0. Logo a combinação trivial é a única; são linearmente independentes.\n
Conclusão: \{(1,0,0),\,(0,1,1)\} é uma base de W. A dimensão de W é o número de vetores da base, portanto \dim W = 2.\n
Breve explicação do conceito: uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e é linearmente independente; a dimensão é a quantidade de vetores numa base.

Passo 4

Resolver (c): encontrar U\cap W (sistema de geradores, base e dimensão).\n
Método: um vetor em U\cap W deve satisfazer simultaneamente as condições de U e de W. Ou seja, deve satisfazer x+y-z=0 e y=z. Substituo z=y na equação de U:\n
x+y-z=0 \implies x+y-y=0 \implies x=0.
Portanto qualquer vetor em U\cap W tem a forma (0,y,y). Isso é exatamente a forma dos vetores y(0,1,1). Logo
U\cap W = \{\, (0,y,y)\mid y\in\mathbb{R}\,\} = \operatorname{span}\{(0,1,1)\}.
Assim um sistema de geradores é \{(0,1,1)\}. Esse conjunto tem um único vetor não-nulo, que é linearmente independente por si só; portanto é também uma base de U\cap W. A dimensão é \dim(U\cap W)=1.\n
Exemplo concreto para fixeza: o vetor (0,1,1) pertence a W porque sua segunda e terceira coordenadas coincidem, e pertence a U porque 0+1-1=0.

Passo 5

Resolver (d): dimensão de U+W.\n
Teorema útil (e muito prático em provas): para subespaços U,W de um espaço vetorial finito vale a fórmula
\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W).
Já temos \dim W = 2 (Passo 3) e \dim(U\cap W)=1 (Passo 4). Falta \dim U. Do Passo 2 vimos que U é gerado por dois vetores (-1,1,0) e (1,0,1). Verificamos agora que esses dois vetores são linearmente independentes: suponha a(-1,1,0)+b(1,0,1)=(0,0,0). Isso dá o sistema
-a + b = 0,\quad a = 0,\quad b = 0.
Da segunda equação vem a=0; então da primeira b=0. Logo só a combinação trivial, então são independentes. Portanto \dim U = 2.\n
Aplicando a fórmula:
\dim(U+W) = 2 + 2 - 1 = 3.
Como verificação intuitiva: U+W tem dimensão 3, que é a dimensão de \mathbb{R}^{3}; portanto U+W=\mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Resolver (e): \mathbb{R}^{3} é soma direta de U com W?\n
Definição rápida e útil: a soma U+W é direta (escreve-se U\oplus W) se e somente se U\cap W=\{0\}. Se a interseção contém algum vetor não-nulo, então a soma não é direta, porque um vetor da interseção pode ser escrito de duas maneiras como soma de elementos dos subespaços (outras palavras: representação não é única).\n
No Passo 4 vimos que U\cap W=\operatorname{span}\{(0,1,1)\}, que contém o vetor não-nulo (0,1,1). Logo U\cap W\neq\{0\}. Portanto a soma não é direta.\n
Observação final: apesar de U+W=\mathbb{R}^{3} (isto é, a soma gera todo \mathbb{R}^{3}), a soma não é direta porque a interseção é maior que \{0\}. Um exemplo concreto mostrando a falta de unicidade de decomposição: o vetor (0,1,1) pertence simultaneamente a U e a W, então pode ser escrito como (0,1,1) = (0,1,1) + (0,0,0) = (0,0,0) + (0,1,1) com decomposições distintas nos dois subespaços.

Resposta

(a) \{(-1,1,0),\,(1,0,1)\}.\n
(b) Base: \{(1,0,0),\,(0,1,1)\}. Dimensão: \dim W=2.\n
(c) Sistema de geradores de U\cap W: \{(0,1,1)\}. Base: \{(0,1,1)\}. Dimensão: \dim(U\cap W)=1.\n
(d) \dim(U+W)=3.\n
(e) Não. U\cap W\neq\{0\} (por exemplo (0,1,1)\in U\cap W), portanto a soma não é direta.

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