Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
,
onde é a esfera de centro na origem e raio
.
O conteúdo principal aqui é usar simetria da esfera e o fato de que muda de sinal simetricamente em relação ao plano
.
onde
O conteúdo principal aqui é usar simetria da esfera e o fato de que
Passo 2
Para cada ponto da esfera com coordenada
existe um ponto simétrico com coordenada
e mesma área elementar
. Como o integrando é
, esses pares contribuem com
e
, cancelando-se mutuamente.