Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{S}} x d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \iint_{\mathcal{S}} x \,dS,
onde \mathcal{S} é a esfera de centro na origem e raio a.
O conteúdo principal aqui é usar simetria da esfera e o fato de que x muda de sinal simetricamente em relação ao plano yz.

Passo 2

Para cada ponto da esfera com coordenada x>0 existe um ponto simétrico com coordenada -x e mesma área elementar dS. Como o integrando é x, esses pares contribuem com +x\,dS e -x\,dS, cancelando-se mutuamente.

Resposta

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