Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície lateral
do cilindro de raio
e altura
. Vamos usar a simetria radial e a definição de fluxo de um campo vetorial, sem parametrizações nem Teorema da Divergência.
Passo 2
Num ponto de
satisfazemos
. O vetor normal unitário exterior à superfície lateral é o vetor radial
Passo 3
Calculamos o produto escalar
Esse resultado é constante em toda a superfície
.
Passo 4
O fluxo é a integral de
sobre
. Como
é constante,
A área lateral do cilindro vale
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