Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{C}}(x \vec{i}+y \vec{j}) \cdot d \vec{S}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j} através da superfície lateral \mathcal{C} do cilindro de raio a e altura h. Vamos usar a simetria radial e a definição de fluxo de um campo vetorial, sem parametrizações nem Teorema da Divergência.

Passo 2

Num ponto de \mathcal{C} satisfazemos x^{2}+y^{2}=a^{2}. O vetor normal unitário exterior à superfície lateral é o vetor radial
\mathbf{n}=\frac{x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}}{a}.

Passo 3

Calculamos o produto escalar
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j})\cdot\frac{x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}}{a} =\frac{x^{2}+y^{2}}{a} =\frac{a^{2}}{a} =a.
Esse resultado é constante em toda a superfície \mathcal{C}.

Passo 4

O fluxo é a integral de \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} sobre \mathcal{C}. Como \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=a é constante,
\iint_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =a\;\bigl(\text{área lateral de }\mathcal{C}\bigr).á
A área lateral do cilindro vale
\text{Área}(\mathcal{C})=(2\pi a)\,h=2\pi a\,h.Á
Logo,
\iint_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =a\cdot(2\pi a\,h) =2\pi a^{2}h.

Resposta

2\pi a^{2}h

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