Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a superfície lateral do cilindro de equação
,
, orientada com a normal “exterior”. Podemos explorar simetrias geométricas em vez de parametrizar ou usar teorema da divergência.
Passo 2
Considere a reflexão
. Essa transformação deixa a superfície
invariante e preserva o elemento de área
, mas muda o sinal de
porque
passa a
. Logo, para cada ponto
em
contribuindo com
, há o ponto refletido
contribuindo com
. Essas contribuições se cancelam em pares, de modo que