Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{C}} x y z d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \iint_{\mathcal{C}} x\,y\,z \,dS
onde \mathcal{C} é a superfície lateral do cilindro de equação x^2+y^2=a^2, -\tfrac{h}{2}\le z\le\tfrac{h}{2}, orientada com a normal “exterior”. Podemos explorar simetrias geométricas em vez de parametrizar ou usar teorema da divergência.

Passo 2

Considere a reflexão (x,y,z)\mapsto(-x,y,z). Essa transformação deixa a superfície \mathcal{C} invariante e preserva o elemento de área dS, mas muda o sinal de x\,y\,z porque x passa a -x. Logo, para cada ponto (x,y,z) em \mathcal{C} contribuindo com x\,y\,z\,dS, há o ponto refletido (-x,y,z) contribuindo com -x\,y\,z\,dS. Essas contribuições se cancelam em pares, de modo que
I = 0.

Resposta

0

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