Considere o subespaço V \subset M_{2}(\mathbb{R}) definido como:
V=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & a+b \\\\ 0 & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\} .
Construa um isomorfismo de V para \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu construa um isomorfismo entre o subespaço V e \mathbb{R}^{3}.\n
Informações dadas:\n
V=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & a+b \\\\ 0 & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}.
Ou seja, todo elemento de V é uma matriz 2\times2 determinada por três números reais a,b,c.\n
Pergunta explícita: construir uma aplicação linear bijetora V\to\mathbb{R}^{3} (ou equivalente) que seja um isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 2

Vou escrever uma forma paramétrica mais direta de um elemento qualquer de V. Pegando a,b,c\in\mathbb{R}, um elemento genérico M\in V tem a forma
M=\begin{pmatrix} a & a+b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix}.
Isso mostra que cada M\in V é completamente determinado pelo tríplice (a,b,c). Então faz sentido tentar usar (a,b,c) como coordenadas em \mathbb{R}^{3}.]

Passo 3

Defino a aplicação \varphi:V\to\mathbb{R}^{3} por
\varphi\!\left(\begin{pmatrix} a & a+b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix}\right)=(a,b,c),
ou seja, \varphi pega a matriz e devolve o vetor formado pelas coordenadas a,b,c.]

Passo 4

Preciso verificar que \varphi é linear. Lembre as definições: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todos X,Y no domínio e todo escalar \lambda, vale
T(X+Y)=T(X)+T(Y)\quad\text{e}\quad T(\lambda X)=\lambda T(X).
Tomemos duas matrizes quaisquer de V,
M_1=\begin{pmatrix} a_1 & a_1+b_1 \\\\ 0 & c_1\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix} a_2 & a_2+b_2 \\\\ 0 & c_2\end{pmatrix},
e um escalar \lambda. Então
M_1+M_2=\begin{pmatrix} a_1+a_2 & (a_1+a_2)+(b_1+b_2) \\\\ 0 & c_1+c_2\end{pmatrix},
logo
\varphi(M_1+M_2)=(a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2)=\varphi(M_1)+\varphi(M_2).
Analogamente,
\lambda M_1=\begin{pmatrix} \lambda a_1 & \lambda a_1+\lambda b_1 \\\\ 0 & \lambda c_1\end{pmatrix},
logo
\varphi(\lambda M_1)=(\lambda a_1,\;\lambda b_1,\;\lambda c_1)=\lambda\varphi(M_1).
Portanto \varphi é linear.

Passo 5

Agora verifico que \varphi é injetora. Para uma aplicação linear, é suficiente mostrar que o núcleo é \{0\}. O núcleo é
\ker\varphi=\left\{M\in V\mid \varphi(M)=(0,0,0)\right\}.
Se \varphi\!\left(\begin{pmatrix} a & a+b \\\\ 0 & c \end{pmatrix}\right)=(0,0,0) então a=0, b=0 e c=0. Assim a única matriz com imagem nula é a matriz nula
\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto \ker\varphi=\{0\}, logo \varphi é injetora.]

Passo 6

Verifico que \varphi é sobrejetora. Dado um vetor qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, posso escolher a=x, b=y, c=z e construir a matriz
M=\begin{pmatrix} x & x+y \\\\ 0 & z \end{pmatrix}\in V.
Pela definição de \varphi temos \varphi(M)=(x,y,z). Assim todo vetor de \mathbb{R}^{3} tem um pré-imagem em V, logo \varphi é sobrejetora.

Passo 7

Como \varphi é linear, injetora e sobrejetora, é um isomorfismo entre V e \mathbb{R}^{3}. Complemento didático: isso também se vê pelo fato de que V tem dimensão 3 (três parâmetros a,b,c) e \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} corresponde à base de V formada pelas matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},
pois
aE_1+bE_2+cE_3=\begin{pmatrix}a & a+b\\[2pt]0 & c\end{pmatrix}.
A aplicação \varphi simplesmente envia aE_1+bE_2+cE_3 para (a,b,c), ou seja, expressa em coordenadas na base \{E_1,E_2,E_3\}.]

Resposta

\varphi:V\to\mathbb{R}^{3},\quad \varphi\!\left(\begin{pmatrix} a & a+b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix}\right)=(a,b,c).\n
\varphi^{-1}:\mathbb{R}^{3}\to V,\quad \varphi^{-1}(x,y,z)=\begin{pmatrix} x & x+y \\[4pt] 0 & z \end{pmatrix}.]

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