Considere o subespaço V \subset M_{2}(\mathbb{R}) definido como:
V=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & a+b \\\\ 0 & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\} .
Construa um isomorfismo de V para \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede que eu construa um isomorfismo entre o subespaço V e \mathbb{R}^{3}.\n
Informações dadas:\n
V=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & a+b \\\\ 0 & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}.
Ou seja, todo elemento de V é uma matriz 2\times2 determinada por três números reais a,b,c.\n
Pergunta explícita: construir uma aplicação linear bijetora V\to\mathbb{R}^{3} (ou equivalente) que seja um isomorfismo de espaços vetoriais.
Passo 2
Vou escrever uma forma paramétrica mais direta de um elemento qualquer de V. Pegando a,b,c\in\mathbb{R}, um elemento genérico M\in V tem a forma
M=\begin{pmatrix} a & a+b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix}.
Isso mostra que cada M\in V é completamente determinado pelo tríplice (a,b,c). Então faz sentido tentar usar (a,b,c) como coordenadas em \mathbb{R}^{3}.]
Passo 3
Defino a aplicação \varphi:V\to\mathbb{R}^{3} por
\varphi\!\left(\begin{pmatrix} a & a+b \\[4pt] 0 & c \end{pmatrix}\right)=(a,b,c),
ou seja, \varphi pega a matriz e devolve o vetor formado pelas coordenadas a,b,c.]
Passo 4
Preciso verificar que \varphi é linear. Lembre as definições: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todos X,Y no domínio e todo escalar \lambda, vale
Se \varphi\!\left(\begin{pmatrix} a & a+b \\\\ 0 & c \end{pmatrix}\right)=(0,0,0) então a=0, b=0 e c=0. Assim a única matriz com imagem nula é a matriz nula
\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto \ker\varphi=\{0\}, logo \varphi é injetora.]
Passo 6
Verifico que \varphi é sobrejetora. Dado um vetor qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, posso escolher a=x, b=y, c=z e construir a matriz
M=\begin{pmatrix} x & x+y \\\\ 0 & z \end{pmatrix}\in V.
Pela definição de \varphi temos \varphi(M)=(x,y,z). Assim todo vetor de \mathbb{R}^{3} tem um pré-imagem em V, logo \varphi é sobrejetora.
Passo 7
Como \varphi é linear, injetora e sobrejetora, é um isomorfismo entre V e \mathbb{R}^{3}. Complemento didático: isso também se vê pelo fato de que V tem dimensão 3 (três parâmetros a,b,c) e \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} corresponde à base de V formada pelas matrizes