Seja B uma matriz inversível de ordem n \times n e considere o operador linear T: M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{R}), definido por:
T(A)=B^{-1} A B
para todas as matrizes A \in M_{n}(\mathbb{R}).
(a) Prove que T é um automorfismo.
(b) Determine explicitamente a transformação inversa T^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz B invertível de ordem n\times n e define um operador linear T\colon M_{n}(\mathbb{R})\to M_{n}(\mathbb{R}) por
T(A)=B^{-1}AB
para todo A\in M_{n}(\mathbb{R}).
As perguntas são:
(a) provar que T é um automorfismo (ou seja, que é um endomorfismo linear bijetivo de M_{n}(\mathbb{R}));
(b) determinar explicitamente a transformação inversa T^{-1}.

Passo 2

Primeiro, algumas explicações básicas (tipo aula rapidinha para garantir que estamos na mesma página):
  • M_{n}(\mathbb{R}) é o espaço vetorial de todas as matrizes reais n\times n. Soma e multiplicação por escalar são as operações usuais de matrizes.
  • Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se preserva soma e multiplicação por escalar: T(A+X)=T(A)+T(X) e T(\lambda A)=\lambda T(A) para todo A,X e \lambda\in\mathbb{R}.
  • Um automorfismo é uma aplicação linear bijetiva (injetora e sobrejetora). Em espaços de dimensão finita, provar que ela é injetora já garante que é bijetora; mas aqui também construiremos explicitamente a inversa.
  • Como B é invertível, existe B^{-1} tal que BB^{-1}=B^{-1}B=I, onde I é a matriz identidade n\times n.
  • Importante: multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, (XY)Z = X(YZ). Vamos usar isso muito nas contas.

Passo 3

Provar que T é linear (parte da definição de automorfismo).
Sejam A,X\in M_{n}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R}. Então
T(A+X)=B^{-1}(A+X)B = B^{-1}AB + B^{-1}XB = T(A)+T(X),
onde usamos distributividade da multiplicação matricial sobre soma.
Também,
T(\lambda A)=B^{-1}(\lambda A)B = \lambda (B^{-1}AB)=\lambda T(A).
Logo T preserva soma e multiplicação por escalar, isto é, T é linear.

Passo 4

Provar que T é injetora (mostraremos núcleo trivial).
Suponha T(A)=0. Então
B^{-1}AB = 0.
Multiplicando à esquerda por B e à direita por B^{-1} (operações válidas porque B é invertível) obtemos
A = B\,0\,B^{-1} = 0.
Portanto, a única matriz enviada para 0 é 0 — isto é, \ker T=\{0\}, então T é injetora.

Passo 5

Em espaços vetoriais de dimensão finita igual (aqui domínio e contradomínio têm ambos dimensão n^{2}), uma aplicação linear injetora é também sobrejetora. Assim T é bijetiva. Isso já garante que T é um automorfismo.
Mas vou também construir a inversa explicitamente — isso deixa tudo cristalino e é útil na prova.

Passo 6

Construção da candidata a inversa. Defina S\colon M_{n}(\mathbb{R})\to M_{n}(\mathbb{R}) por
S(X)=B X B^{-1}
para todo X\in M_{n}(\mathbb{R}).
Mostramos que S é a inversa de T verificando as composições:
Primeiro,
T(S(X))=B^{-1}\big(BXB^{-1}\big)B.
Pela associatividade, agrupamos como (B^{-1}B)X(B^{-1}B). Como B^{-1}B=I, segue
T(S(X))=I\,X\,I = X.
Agora a outra composição:
S(T(X))=B\big(B^{-1}XB\big)B^{-1} = (BB^{-1})X(BB^{-1}) = I\,X\,I = X.
Assim S\circ T=\mathrm{id} e T\circ S=\mathrm{id}, ou seja, S é de fato a inversa de T.

Passo 7

Conclusões e interpretação final (resumindo com calma, como um colega explicando):
  • Somos capazes de provar diretamente que T é linear e injetora; por dimensões iguais obtemos bijetividade, logo T é um automorfismo.
  • Construímos explicitamente T^{-1} como S(X)=B X B^{-1} e verificamos que composições dão identidade. Assim a inversa é bem simples: “trocar B^{-1} por B e inverter a ordem de multiplicação”.

Resposta

(a) T é um automorfismo de M_{n}(\mathbb{R}).\n
(b) T^{-1}(A)=B A B^{-1} para todo A\in M_{n}(\mathbb{R}).

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