Seja
uma matriz inversível de ordem
e considere o operador linear
, definido por:
para todas as matrizes
.
(a) Prove que
é um automorfismo.
(b) Determine explicitamente a transformação inversa
.
(a) Prove que
(b) Determine explicitamente a transformação inversa
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
invertível de ordem
e define um operador linear
por
para todo
.
As perguntas são:
(a) provar que é um automorfismo (ou seja, que é um endomorfismo linear bijetivo de
);
(b) determinar explicitamente a transformação inversa .
As perguntas são:
(a) provar que
(b) determinar explicitamente a transformação inversa
Passo 2
Primeiro, algumas explicações básicas (tipo aula rapidinha para garantir que estamos na mesma página):
-
é o espaço vetorial de todas as matrizes reais . Soma e multiplicação por escalar são as operações usuais de matrizes. - Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se preserva soma e multiplicação por escalar: e para todo e . - Um automorfismo é uma aplicação linear bijetiva (injetora e sobrejetora). Em espaços de dimensão finita, provar que ela é injetora já garante que é bijetora; mas aqui também construiremos explicitamente a inversa.
- Como
é invertível, existe tal que , onde é a matriz identidade . - Importante: multiplicação de matrizes é associativa, ou seja,
. Vamos usar isso muito nas contas.
Passo 3
Provar que
é linear (parte da definição de automorfismo).
Sejam e
. Então
Sejam
onde usamos distributividade da multiplicação matricial sobre soma.
Também,
Também,
Logo
preserva soma e multiplicação por escalar, isto é,
é linear.
Passo 4
Provar que
é injetora (mostraremos núcleo trivial).
Suponha . Então
Suponha
Multiplicando à esquerda por
e à direita por
(operações válidas porque
é invertível) obtemos
Portanto, a única matriz enviada para
é
— isto é,
, então
é injetora.
Passo 5
Em espaços vetoriais de dimensão finita igual (aqui domínio e contradomínio têm ambos dimensão
), uma aplicação linear injetora é também sobrejetora. Assim
é bijetiva. Isso já garante que
é um automorfismo.
Mas vou também construir a inversa explicitamente — isso deixa tudo cristalino e é útil na prova.
Mas vou também construir a inversa explicitamente — isso deixa tudo cristalino e é útil na prova.
Passo 6
Construção da candidata a inversa. Defina
por
para todo
.
Mostramos que é a inversa de
verificando as composições:
Primeiro,
Mostramos que
Primeiro,
Pela associatividade, agrupamos como
. Como
, segue
Agora a outra composição:
Assim
e
, ou seja,
é de fato a inversa de
.
Passo 7
Conclusões e interpretação final (resumindo com calma, como um colega explicando):
- Somos capazes de provar diretamente que
é linear e injetora; por dimensões iguais obtemos bijetividade, logo é um automorfismo. - Construímos explicitamente
como e verificamos que composições dão identidade. Assim a inversa é bem simples: “trocar por e inverter a ordem de multiplicação”.
Resposta
(a)
é um automorfismo de
.\n
(b) para todo
.
(b)