Seja \mathcal{V} um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno.
Mostre que a aplicação identidade I é uma isometria.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um espaço vetorial \mathcal{V} de dimensão finita munido de um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.
  • A aplicação identidade I:\mathcal{V}\to\mathcal{V} definida por I(v)=v para todo v\in\mathcal{V}.
O que pede:
  • Mostrar que I é uma isometria.
Informações relevantes que vamos usar (retomarei as definições na prática):
  • A norma induzida pelo produto interno é \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.
  • Uma aplicação entre espaços com produto interno é isometria se ela preserva as distâncias (ou, equivalentemente, preserva as normas ou o produto interno, veremos as equivalências).

Passo 2

Definição e lembretes didáticos (passo a passo do que significam as coisas).
  • Produto interno: para u,v\in\mathcal{V}, \langle u,v\rangle é um número que satisfaz propriedades lineares e de simetria/positividade. Não preciso usar todas as propriedades agora, só que dela vem uma norma.
  • Norma induzida: para v\in\mathcal{V},
\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.
Isto mede “tamanho” ou “comprimento” de v.
  • Distância entre dois vetores v,w é dada por
d(v,w)=\|v-w\|.
  • Isometria: uma aplicação T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} é isometria se conserva distâncias, isto é, para todos v,w\in\mathcal{V}
\|T(v)-T(w)\|=\|v-w\|.
Observação útil: se uma aplicação linear preserva o produto interno (isto é, \langle T(v),T(w)\rangle=\langle v,w\rangle para todos v,w), então ela preserva normas e distâncias automaticamente, porque a norma vem do produto interno. Aqui vou usar a verificação direta mais simples para a identidade.

Passo 3

Escrever explicitamente a identidade e calcular como ela age sobre produto interno e normas.
  • A identidade é I:\mathcal{V}\to\mathcal{V} com I(v)=v.
  • Para quaisquer v,w\in\mathcal{V} temos, por definição da identidade,
I(v)=v,\qquad I(w)=w.
Logo o produto interno entre as imagens é
\langle I(v),I(w)\rangle=\langle v,w\rangle.
Isto mostra que I preserva o produto interno ponto a ponto.

Passo 4

Concluir preservação de norma e distância a partir do passo anterior.
  • Como a norma é definida pela raiz do produto interno, para todo v\in\mathcal{V}
\|I(v)\|=\sqrt{\langle I(v),I(v)\rangle}=\sqrt{\langle v,v\rangle}=\|v\|.
  • Para quaisquer v,w\in\mathcal{V},
\|I(v)-I(w)\|=\|v-w\|.
Isto mostra que a identidade preserva distâncias entre quaisquer pares de vetores, que é a definição direta de isometria.

Passo 5

Comentário final e intuição (pequena motivação para lembrar na prova).
  • Intuitivamente: aplicar a identidade não muda nenhum vetor, então não pode mudar comprimentos nem ângulos. Por isso é óbvio que ela é uma isometria.
  • Observação técnica: a hipótese de dimensão finita não é necessária para esta prova simples; a identidade é isometria em qualquer espaço com produto interno. Mas não faz mal que o enunciado tenha dito dimensão finita.

Resposta

A identidade I:\mathcal{V}\to\mathcal{V}, I(v)=v, é uma isometria, pois para todos v,w\in\mathcal{V} vale \langle I(v),I(w)\rangle=\langle v,w\rangle, e portanto \|I(v)-I(w)\|=\|v-w\|.

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