Seja
um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno.
Mostre que a aplicação identidade
é uma isometria.
Mostre que a aplicação identidade
Passo 1
O enunciado dá:
- Um espaço vetorial
de dimensão finita munido de um produto interno . - A aplicação identidade
definida por para todo .
O que pede:
- Mostrar que
é uma isometria.
Informações relevantes que vamos usar (retomarei as definições na prática):
- A norma induzida pelo produto interno é
. - Uma aplicação entre espaços com produto interno é isometria se ela preserva as distâncias (ou, equivalentemente, preserva as normas ou o produto interno, veremos as equivalências).
Passo 2
Definição e lembretes didáticos (passo a passo do que significam as coisas).
- Produto interno: para
, é um número que satisfaz propriedades lineares e de simetria/positividade. Não preciso usar todas as propriedades agora, só que dela vem uma norma. - Norma induzida: para
,
Isto mede “tamanho” ou “comprimento” de
.
- Distância entre dois vetores
é dada por
- Isometria: uma aplicação
é isometria se conserva distâncias, isto é, para todos
Observação útil: se uma aplicação linear preserva o produto interno (isto é,
para todos
), então ela preserva normas e distâncias automaticamente, porque a norma vem do produto interno. Aqui vou usar a verificação direta mais simples para a identidade.
Passo 3
Escrever explicitamente a identidade e calcular como ela age sobre produto interno e normas.
- A identidade é
com . - Para quaisquer
temos, por definição da identidade,
Logo o produto interno entre as imagens é
Isto mostra que
preserva o produto interno ponto a ponto.
Passo 4
Concluir preservação de norma e distância a partir do passo anterior.
- Como a norma é definida pela raiz do produto interno, para todo
- Para quaisquer
,
Isto mostra que a identidade preserva distâncias entre quaisquer pares de vetores, que é a definição direta de isometria.
Passo 5
Comentário final e intuição (pequena motivação para lembrar na prova).
- Intuitivamente: aplicar a identidade não muda nenhum vetor, então não pode mudar comprimentos nem ângulos. Por isso é óbvio que ela é uma isometria.
- Observação técnica: a hipótese de dimensão finita não é necessária para esta prova simples; a identidade é isometria em qualquer espaço com produto interno. Mas não faz mal que o enunciado tenha dito dimensão finita.
Resposta
A identidade
,
, é uma isometria, pois para todos
vale
, e portanto
.