Seja
, em que
é munido do produto interno canônico. Determine uma base ortonormal de
e de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se: determinar uma base ortonormal de
e uma base ortonormal de . - Informação dada:
. - Produto interno: o produto interno canônico em
, isto é, para e tem-se
Passo 2
Entender a forma de
e encontrar uma base fácil inicial.
A condição
pode ser escrita como
Tomando parâmetros
,
e
(livres), um vetor genérico de
é
Logo uma base (não ortonormal) para
é
Observação: como há uma única equação linear independente em
,
, então precisamos de três vetores na base de
.
Passo 3
Plano para obter uma base ortonormal de
: aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores
e depois normalizar.
Lembrete prático do processo de Gram–Schmidt:
- Para vetores
, define-se
e em geral
Aqui
é o produto interno canônico e
.
Passo 4
Aplicar Gram–Schmidt ao nosso caso: começamos com
.
- Calcular a norma de
:
- Logo
já é unitário.
Passo 5
Segundo vetor
.
- Produto com
:
ou seja,
é ortogonal a
.
- Norma de
:
- Normalizando:
Passo 6
Terceiro vetor
. Vamos ortogonalizá‑lo em relação a
e
.
- Primeiro
(pois primeira componente de é zero). - Em seguida
:
- Subtrair a projeção de
sobre :
- Calcular
:
- Logo
Passo 7
Normalizar
.
- Norma:
- Vetor unitário:
Agora
é uma base ortonormal de
. (Checagem rápida: cada
satisfaz
, como deve ser.)
Passo 8
Determinar
.
- A equação
tem forma com normal ao hiperplano. Tomando os coeficientes da equação, um vetor normal é
- Verificação: para
, , que é a equação dada. - Portanto
, é um espaço unidimensional.
Passo 9
Normalizar o vetor normal para obter uma base ortonormal de
.
- Norma de
:
- Vetor unitário:
Assim
é uma base ortonormal de
.