Seja \mathcal{W}=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid z-y+2 w=0\right\} \subseteq \mathbb{R}^{4}, em que \mathbb{R}^{4} é munido do produto interno canônico. Determine uma base ortonormal de \mathcal{W} e de \mathcal{W}^{\perp}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se: determinar uma base ortonormal de \mathcal{W} e uma base ortonormal de \mathcal{W}^{\perp}.
  • Informação dada: \mathcal{W}=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid z-y+2w=0\right\}.
  • Produto interno: o produto interno canônico em \mathbb{R}^{4}, isto é, para u=(u_1,u_2,u_3,u_4) e v=(v_1,v_2,v_3,v_4) tem-se
\langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+u_4v_4.

Passo 2

Entender a forma de \mathcal{W} e encontrar uma base fácil inicial.
A condição z-y+2w=0 pode ser escrita como
z = y-2w.
Tomando parâmetros s=x, t=y e u=w (livres), um vetor genérico de \mathcal{W} é
(x,y,z,w)=(s,t,t-2u,u)=s(1,0,0,0)+t(0,1,1,0)+u(0,0,-2,1).
Logo uma base (não ortonormal) para \mathcal{W} é
b_1=(1,0,0,0),\qquad b_2=(0,1,1,0),\qquad b_3=(0,0,-2,1).
Observação: como há uma única equação linear independente em \mathbb{R}^4, \dim\mathcal{W}=3, então precisamos de três vetores na base de \mathcal{W}.

Passo 3

Plano para obter uma base ortonormal de \mathcal{W}: aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores b_1,b_2,b_3 e depois normalizar.
Lembrete prático do processo de Gram–Schmidt:
  • Para vetores v_1,v_2,\dots, define-se
u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}, \qquad \widetilde v_2 = v_2 - \langle v_2,u_1\rangle u_1, \qquad u_2 = \frac{\widetilde v_2}{\|\widetilde v_2\|},
e em geral
\widetilde v_k = v_k -\sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,u_j\rangle u_j,\qquad u_k=\frac{\widetilde v_k}{\|\widetilde v_k\|}.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno canônico e \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.

Passo 4

Aplicar Gram–Schmidt ao nosso caso: começamos com b_1=(1,0,0,0).
  • Calcular a norma de b_1:
\|b_1\|=\sqrt{1^2+0+0+0}=1.
  • Logo u_1=b_1=(1,0,0,0) já é unitário.

Passo 5

Segundo vetor b_2=(0,1,1,0).
  • Produto com u_1:
\langle b_2,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0,
ou seja, b_2 é ortogonal a u_1.
  • Norma de b_2:
\|b_2\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
  • Normalizando:
u_2=\frac{b_2}{\|b_2\|}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).

Passo 6

Terceiro vetor b_3=(0,0,-2,1). Vamos ortogonalizá‑lo em relação a u_1 e u_2.
  • Primeiro \langle b_3,u_1\rangle = 0 (pois primeira componente de b_3 é zero).
  • Em seguida \langle b_3,u_2\rangle:
\langle b_3,u_2\rangle = 0\cdot0 + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + (-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\cdot0 = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}.
  • Subtrair a projeção de b_3 sobre u_2:
\widetilde b_3 = b_3 - \langle b_3,u_2\rangle u_2 = b_3 - (-\sqrt{2})u_2 = b_3 + \sqrt{2}\,u_2.
  • Calcular \sqrt{2}\,u_2:
\sqrt{2}\,u_2 = \left(0,1,1,0\right).
  • Logo
\widetilde b_3 = (0,0,-2,1)+(0,1,1,0)=(0,1,-1,1).

Passo 7

Normalizar \widetilde b_3=(0,1,-1,1).
  • Norma:
\|\widetilde b_3\|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}.
  • Vetor unitário:
u_3=\frac{\widetilde b_3}{\|\widetilde b_3\|}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Agora \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortonormal de \mathcal{W}. (Checagem rápida: cada u_i satisfaz z-y+2w=0, como deve ser.)

Passo 8

Determinar \mathcal{W}^{\perp}.
  • A equação z-y+2w=0 tem forma \langle n,v\rangle=0 com n normal ao hiperplano. Tomando os coeficientes da equação, um vetor normal é
n=(0,-1,1,2).
  • Verificação: para v=(x,y,z,w), \langle n,v\rangle = 0\cdot x + (-1) y + 1\cdot z + 2\cdot w = z-y+2w, que é a equação dada.
  • Portanto \mathcal{W}^{\perp}=\operatorname{span}\{n\}, é um espaço unidimensional.

Passo 9

Normalizar o vetor normal para obter uma base ortonormal de \mathcal{W}^{\perp}.
  • Norma de n:
\|n\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
  • Vetor unitário:
u_4=\frac{n}{\|n\|}=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}}\right).
Assim \{u_4\} é uma base ortonormal de \mathcal{W}^{\perp}.

Resposta

\displaystyle \text{Base ortonormal de } \mathcal{W}=\left\{\,(1,0,0,0),\;\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right),\;\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\}
\displaystyle \text{Base ortonormal de } \mathcal{W}^{\perp}=\left\{\left(0,-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\right\}

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