Seja X uma variável aleatória continua com f.d.p. dada por:
f(x, y)= \begin{cases}k x, & \text { se } 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\\ k(1-x), & \text { se } \frac{1}{2} \leq x \leq 1, \\\\ 0, & \text { c.c }\end{cases}
a) Encontre o valor de k .
b) Encontre a distribuição acumulada de X .
c) Faça o esboço de \mathrm{f}(\mathrm{x}).
d) Calcule \mathrm{P}\left(\frac{1}{4} \leq \mathrm{X} \leq \frac{3}{4}\right).
e) Calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}).
f) Calcule \mathrm{V}(\mathrm{X}).
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X\), definida por partes:
\[f(x)= \begin{cases} k\,x, & \text{se } 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\[4pt] k(1-x), & \text{se } \tfrac{1}{2} \le x \le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Encontrar o valor de k\].
b) Encontrar a função de distribuição acumulada \(F(x)=P(X\le x).
c) Fazer o esboço de f(x).
d) Calcular P\!\left(\tfrac{1}{4}\le X\le\tfrac{3}{4}\right).
e) Calcular \mathbb{E}(X).
f) Calcular \mathrm{Var}(X).
Além disso, lista-se implicitamente que o suporte de X é [0,1] porque fora desse intervalo f(x)=0.]
Passo 2
Normalização: para ser uma f.d.p. válida, a integral de f sobre toda a reta deve ser 1. Como o suporte é [0,1] e f é dada por duas partes, impomos
\int_{0}^{1/2} k x\,dx \;+\; \int_{1/2}^{1} k(1-x)\,dx \;=\; 1.
Agora calculamos cada integral (mostrando passo a passo):
Para \tfrac{1}{2}\le x\le 1: usar a adição da probabilidade acumulada até \tfrac{1}{2} mais a integral de \tfrac{1}{2} até x:
primeiro F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Depois,
Esboço de f(x) (descrição do gráfico passo a passo, já que não desenhamos):
No intervalo [0,\tfrac{1}{2}], f(x)=4x. É uma reta que sai de f(0)=0 e cresce linearmente até f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4\cdot\tfrac{1}{2}=2.
No intervalo [\tfrac{1}{2},1], f(x)=4(1-x). É uma reta decrescente que em \tfrac{1}{2} vale 2 (mesmo valor à esquerda, logo f é contínua) e cai linearmente até f(1)=0.
Portanto o gráfico é um triângulo simétrico com pico em x=\tfrac{1}{2} e altura 2; base no intervalo [0,1].
Pontos importantes para esboçar: \big(0,0\big), \big(\tfrac{1}{2},2\big), \big(1,0\big). Entre esses pontos ligar por retas.
Passo 5
Cálculo de P\!\left(\tfrac{1}{4}\le X\le \tfrac{3}{4}\right). Pode-se usar a f.d.a. ou integrar a f.d.p. direta:
Dividimos o intervalo em [\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}] e [\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}].
Observação intuitiva: a densidade é simétrica em torno de x=\tfrac{1}{2}, por isso a média sendo \tfrac{1}{2} faz sentido.
Passo 7
Cálculo de \mathrm{Var}(X). Usamos \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-\big(\mathbb{E}(X)\big)^{2}. Já temos \mathbb{E}(X)=\tfrac{1}{2}. Precisamos de \mathbb{E}(X^{2}):