Seja X uma variável aleatória continua com f.d.p. dada por:
f(x, y)= \begin{cases}k x, & \text { se } 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\\ k(1-x), & \text { se } \frac{1}{2} \leq x \leq 1, \\\\ 0, & \text { c.c }\end{cases}
a) Encontre o valor de k .
b) Encontre a distribuição acumulada de X .
c) Faça o esboço de \mathrm{f}(\mathrm{x}).
d) Calcule \mathrm{P}\left(\frac{1}{4} \leq \mathrm{X} \leq \frac{3}{4}\right).
e) Calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}).
f) Calcule \mathrm{V}(\mathrm{X}).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X\), definida por partes: \[f(x)= \begin{cases} k\,x, & \text{se } 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\[4pt] k(1-x), & \text{se } \tfrac{1}{2} \le x \le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Encontrar o valor de k\]. b) Encontrar a função de distribuição acumulada \(F(x)=P(X\le x).
c) Fazer o esboço de f(x).
d) Calcular P\!\left(\tfrac{1}{4}\le X\le\tfrac{3}{4}\right).
e) Calcular \mathbb{E}(X).
f) Calcular \mathrm{Var}(X).
Além disso, lista-se implicitamente que o suporte de X é [0,1] porque fora desse intervalo f(x)=0.]

Passo 2

Normalização: para ser uma f.d.p. válida, a integral de f sobre toda a reta deve ser 1. Como o suporte é [0,1] e f é dada por duas partes, impomos
\int_{0}^{1/2} k x\,dx \;+\; \int_{1/2}^{1} k(1-x)\,dx \;=\; 1.
Agora calculamos cada integral (mostrando passo a passo):
\int_{0}^{1/2} k x\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = k\cdot\frac{(1/2)^{2}}{2} = k\cdot\frac{1/4}{2} = k\cdot\frac{1}{8} = \frac{k}{8}.
\int_{1/2}^{1} k(1-x)\,dx = k\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1/2}^{1} = k\left(\left(1-\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)\right) = k\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{8}\right) = k\cdot\frac{1}{8} = \frac{k}{8}.
Somando:
\frac{k}{8}+\frac{k}{8}=\frac{k}{4}=1.
Então resolvendo para k:
k=4.

Passo 3

Construção da função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x), definida por partes conforme x:
  • Para x<0: F(x)=0 (fora do suporte à esquerda).
  • Para 0\le x\le \tfrac{1}{2}: F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{x} k\,t\,dt.
    Substituindo k=4:
    F(x)=4\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}.
  • Para \tfrac{1}{2}\le x\le 1: usar a adição da probabilidade acumulada até \tfrac{1}{2} mais a integral de \tfrac{1}{2} até x:
    primeiro F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
    Depois,
    F(x)=F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+\int_{1/2}^{x} 4(1-t)\,dt =\frac{1}{2}+4\left[t-\frac{t^{2}}{2}\right]_{1/2}^{x}.
    Calculando a integral:
    4\left(x-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)\right) =4\left(x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{3}{8}\right) =4x-2x^{2}-\frac{3}{2}.
    Somando F(\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}:
    F(x)=\frac{1}{2} + \left(4x-2x^{2}-\frac{3}{2}\right) = 4x-2x^{2}-1.
  • Para x>1: F(x)=1.
Resumindo a f.d.a.:
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 2x^{2}, & 0\le x\le \tfrac{1}{2},\\[6pt] 4x-2x^{2}-1, & \tfrac{1}{2}\le x\le 1,\\[6pt] 1, & x>1. \end{cases}]

Passo 4

Esboço de f(x) (descrição do gráfico passo a passo, já que não desenhamos):
  • No intervalo [0,\tfrac{1}{2}], f(x)=4x. É uma reta que sai de f(0)=0 e cresce linearmente até f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4\cdot\tfrac{1}{2}=2.
  • No intervalo [\tfrac{1}{2},1], f(x)=4(1-x). É uma reta decrescente que em \tfrac{1}{2} vale 2 (mesmo valor à esquerda, logo f é contínua) e cai linearmente até f(1)=0.
  • Portanto o gráfico é um triângulo simétrico com pico em x=\tfrac{1}{2} e altura 2; base no intervalo [0,1].
Pontos importantes para esboçar: \big(0,0\big), \big(\tfrac{1}{2},2\big), \big(1,0\big). Entre esses pontos ligar por retas.

Passo 5

Cálculo de P\!\left(\tfrac{1}{4}\le X\le \tfrac{3}{4}\right). Pode-se usar a f.d.a. ou integrar a f.d.p. direta:
Dividimos o intervalo em [\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}] e [\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}].
Primeira parte:
\int_{1/4}^{1/2} 4x\,dx =4\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1/4}^{1/2} =2\left(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}\right) =2\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{16}\right)=2\cdot\frac{3}{16}=\frac{3}{8}.
Segunda parte:
\int_{1/2}^{3/4} 4(1-x)\,dx =4\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1/2}^{3/4}.
Calculemos os valores:
\left(x-\frac{x^{2}}{2}\right)\Big|_{x=3/4} = \frac{3}{4}-\frac{9}{32}=\frac{15}{32}, \qquad \left(x-\frac{x^{2}}{2}\right)\Big|_{x=1/2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=\frac{12}{32}.
Diferença \frac{15}{32}-\frac{12}{32}=\frac{3}{32}. Multiplicando por 4 \dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}.
Somando as duas partes:
P\!\left(\tfrac{1}{4}\le X\le \tfrac{3}{4}\right)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{4}.

Passo 6

Cálculo de \mathbb{E}(X). A definição é
\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx = \int_{0}^{1/2} x\cdot 4x\,dx + \int_{1/2}^{1} x\cdot 4(1-x)\,dx.
Calculamos cada integral:
Primeira:
\int_{0}^{1/2} 4x^{2}\,dx =4\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2} =4\cdot\frac{(1/2)^{3}}{3}=4\cdot\frac{1/8}{3}=4\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{6}.
Segunda:
\int_{1/2}^{1} 4(x-x^{2})\,dx =4\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1/2}^{1}.
Avalie os termos:
\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{x=1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6},
\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{x=1/2}=\frac{1}{8}-\frac{1}{24}=\frac{3-1}{24}=\frac{1}{12}.
Diferença \tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{12}. Multiplicando por 4 \tfrac{1}{3}.
Somando as partes:
\mathbb{E}(X)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.
Observação intuitiva: a densidade é simétrica em torno de x=\tfrac{1}{2}, por isso a média sendo \tfrac{1}{2} faz sentido.

Passo 7

Cálculo de \mathrm{Var}(X). Usamos \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-\big(\mathbb{E}(X)\big)^{2}. Já temos \mathbb{E}(X)=\tfrac{1}{2}. Precisamos de \mathbb{E}(X^{2}):
\mathbb{E}(X^{2})=\int_{0}^{1/2} x^{2}\cdot 4x\,dx + \int_{1/2}^{1} x^{2}\cdot 4(1-x)\,dx =4\int_{0}^{1/2} x^{3}\,dx + 4\int_{1/2}^{1} (x^{2}-x^{3})\,dx.
Primeira integral:
4\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1/2} = \left(x^{4}\right)\Big|_{0}^{1/2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}.
Segunda integral:
4\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{1/2}^{1} =4\left(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) - \left(\frac{1}{24}-\frac{1}{64}\right)\right).
Calcule os termos:
\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}, \qquad \frac{1}{24}-\frac{1}{64}=\frac{8-3}{192}=\frac{5}{192}.
Diferença dentro do parêntese:
\frac{1}{12}-\frac{5}{192}=\frac{16-5}{192}=\frac{11}{192}.
Multiplicando por 4:
4\cdot\frac{11}{192}=\frac{44}{192}=\frac{11}{48}.
Somando com a primeira parte:
\mathbb{E}(X^{2})=\frac{1}{16}+\frac{11}{48}=\frac{3}{48}+\frac{11}{48}=\frac{14}{48}=\frac{7}{24}.
Finalmente:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-\big(\mathbb{E}(X)\big)^{2} =\frac{7}{24}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} =\frac{7}{24}-\frac{6}{24}=\frac{1}{24}.

Resposta

a) k=4\) b) \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 2x^{2}, & 0\le x\le \tfrac{1}{2},\\[6pt] 4x-2x^{2}-1, & \tfrac{1}{2}\le x\le 1,\\[6pt] 1, & x>1, \end{cases}
c) f(x)=4x\] para \(0\le x\le \tfrac{1}{2} e f(x)=4(1-x) para \tfrac{1}{2}\le x\le 1 — triângulo com vértices em (0,0), (\tfrac{1}{2},2), (1,0).
d) P\!\left(\tfrac{1}{4}\le X\le \tfrac{3}{4}\right)=\tfrac{3}{4}.
e) \mathbb{E}(X)=\tfrac{1}{2}.
f) \mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{24}.]

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