Seja X uma v.a.c. tal que a função de distribuição acumulada de X é definida por:
F(x)=\left\{\begin{array}{l} 1-e^{-2 x}, x \geq 0 \\\\ 0, x<0 \end{array}\right.
Encontre f(x). (DICA: Use o Teorema / qual operação fazemos para encontrar a acumulada da f.d.p / utilizar operação inversa)

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) da v.a.c. X e pede a densidade de probabilidade f(x).
Informações fornecidas:
  • Para x\geq 0: F(x)=1-e^{-2x}.
  • Para x<0: F(x)=0.
O que é solicitado:
  • Encontrar f(x), ou seja, a função densidade associada a essa função de distribuição acumulada.

Passo 2

Lembrete teórico (ferramenta que vamos usar): quando uma função de distribuição acumulada F é diferenciável em um ponto, a densidade de probabilidade f é dada pela derivada de F nesse ponto. Em forma simbólica:
f(x)=F'(x),
ou seja, a operação “inversa” que o enunciado indica é a diferenciação. Na prática, diferenciar F em cada região onde ela é diferenciável nos dá f (lembrando que valores pontuais de f não alteram probabilidades, pois probabilidades são integrais da densidade).

Passo 3

Vamos diferenciar F(x) na região x>0. Primeiro escrevo a parte relevante de F:
F(x)=1-e^{-2x},\qquad x\geq 0.
Aplicando a regra da cadeia para derivar exponenciais: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=-2x, logo u'(x)=-2. Derivando F para x>0:
F'(x)=0-\bigl(-2\bigr)e^{-2x}=2e^{-2x}.
Portanto, para x>0 obtemos f(x)=2e^{-2x}.

Passo 4

Para x<0 temos F(x)=0 (constante). A derivada de uma constante é zero. Assim:
f(x)=0,\qquad x<0.

Passo 5

O ponto x=0: F(0)=1-e^{0}=0. Não há salto de massa em x=0 (o lado esquerdo também dá 0), portanto não existe componente singular (átomo) em x=0. Podemos então definir f(0) de acordo com a expressão contínua pela direita; na prática o valor de f em um único ponto não altera probabilidades. É comum apresentar a densidade como definida para x\geq 0 pela fórmula obtida.

Passo 6

Verificação extra (sanidade): a densidade encontrada deve integrar 1. Calculo
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty} 2e^{-2x}\,dx.
Para integrar, uso a primitiva de e^{-2x}: \int e^{-2x}dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. Assim
\int_{0}^{\infty} 2e^{-2x}\,dx = 2\left[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{\infty} = \bigl[-e^{-2x}\bigr]_{0}^{\infty}=0-(-1)=1.
Portanto a função obtida é uma densidade válida.

Passo 7

Dica prática para a prova: ao receber uma CDF contínua do tipo 1-e^{-ax} para x\ge0, lembre-se que a PDF é a e^{-ax} para x\ge0. Aqui a=2. Sempre confira integrando a densidade para 1; isso garante que não houve erro de cálculo.

Resposta

f(x)=\begin{cases} 2e^{-2x}, & x\geq 0,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases}]

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