Exemplo 3: Considere o conjunto dos números racionais Q e a seguinte relação a/b ~ c/d se, e somente se, ad=bc. Essa relação ~ é relação de equivalência ?

Passo 1

O enunciado dá uma relação entre frações (representantes de números racionais). Para ficar explícito, vou tomar o universo como o conjunto
S=\{\,\tfrac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z},\\ b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\,\},
ou seja, todas as frações com numerador inteiro e denominador inteiro não nulo. A relação é definida por:
\frac{a}{b}\sim\frac{c}{d}\iff ad=bc,
com b\neq0 e d\neq0.
A pergunta do enunciado é: essa relação \sim é uma relação de equivalência?

Passo 2

O que significa “relação de equivalência”? Preciso verificar três propriedades para toda escolha de elementos em S:
  • Reflexiva: todo elemento é relacionado consigo mesmo. Em símbolos: para todo \tfrac{a}{b}\in S deve valer \tfrac{a}{b}\sim\tfrac{a}{b}.
  • Simétrica: se um elemento x está relacionado com y, então y está relacionado com x. Em símbolos: se \tfrac{a}{b}\sim\tfrac{c}{d} então \tfrac{c}{d}\sim\tfrac{a}{b}.
  • Transitiva: se x está relacionado com y e y está relacionado com z, então x está relacionado com z. Em símbolos: se \tfrac{a}{b}\sim\tfrac{c}{d} e \tfrac{c}{d}\sim\tfrac{e}{f} então \tfrac{a}{b}\sim\tfrac{e}{f}.
Vou checar cada propriedade passo a passo, explicando as contas.

Passo 3

Verificando reflexividade. Pegue um elemento arbitrário \tfrac{a}{b}\in S (com b\neq0). Pela definição, é preciso ver se a\cdot b = b\cdot a. Como a multiplicação de inteiros é comutativa,
a b = b a,
logo a b = b a satisfaz a condição ad=bc no caso c=a e d=b. Portanto
\frac{a}{b}\sim\frac{a}{b},
para todo \tfrac{a}{b}\in S. Assim a relação é reflexiva.

Passo 4

Verificando simetria. Suponha \tfrac{a}{b}\sim\tfrac{c}{d}. Isso significa, por definição, que
a d = b c.
Mas igualdade de inteiros é simétrica: a d = b c implica b c = a d. Reescrevendo, isso é exatamente
c d? \\ \text{(não)}\quad\text{— atenção: a condição para }\tfrac{c}{d}\sim\tfrac{a}{b}\text{ é }c b = d a.ãçãçãé
Usando apenas comutatividade da multiplicação, b c = c b e a d = d a, portanto a igualdade a d = b c pode ser escrita como
c b = d a,
que é a condição c\! \cdot\! b = d\! \cdot\! a. Assim vale \tfrac{c}{d}\sim\tfrac{a}{b}. Concluímos que a relação é simétrica.
(Em palavras: se ad=bc então trocando os lados da igualdade obtemos a condição necessária para a relação no sentido inverso.)

Passo 5

Verificando transitividade. Suponha
\frac{a}{b}\sim\frac{c}{d}\quad\text{e}\quad\frac{c}{d}\sim\frac{e}{f}.
Pela definição isso significa
a d = b c \qquad\text{e}\qquad c f = d e,
com b\neq0, d\neq0, f\neq0. Vou combinar essas igualdades para chegar em a f = b e, que é a condição para \tfrac{a}{b}\sim\tfrac{e}{f}.
Multiplico a primeira igualdade por f:
a d f = b c f.
Multiplico a segunda igualdade por b:
b c f = b d e.
Juntando as duas igualdades obtemos
a d f = b d e.
Agora d\neq0, então posso dividir ambos os lados por d (dividir uma igualdade por um inteiro não nulo preserva a igualdade), e fica
a f = b e.
Essa é exatamente a condição a f = b e, logo
\frac{a}{b}\sim\frac{e}{f}.
Portanto a relação é transitiva.

Passo 6

Tendo mostrado que \sim é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que \sim é uma relação de equivalência em S.
Um comentário intuitivo e útil para a prova: a relação \tfrac{a}{b}\sim\tfrac{c}{d}\iff ad=bc identifica frações que representam o mesmo número racional. Por exemplo,
\frac{1}{2}\sim\frac{2}{4}\sim\frac{3}{6},
porque 1\cdot4=2\cdot2 e 1\cdot6=2\cdot3. As classes de equivalência são exatamente os conjuntos de todas as representações (não necessariamente na forma reduzida) de um mesmo número racional; por exemplo, a classe de \tfrac{a}{b} é
[\,\tfrac{a}{b}\,]=\{\,\tfrac{c}{d}\in S\mid ad=bc\,\},
que também pode ser descrita como \{\,\tfrac{ka}{kb}\mid k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\,\}.

Resposta

Sim. A relação \sim é uma relação de equivalência (é reflexiva, simétrica e transitiva).

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