Exemplo 3: Considere o conjunto dos números racionais Q e a seguinte relação a/b ~ c/d se, e somente se, ad=bc. Essa relação ~ é relação de equivalência ?
Passo 1
O enunciado dá uma relação entre frações (representantes de números racionais). Para ficar explícito, vou tomar o universo como o conjunto
ou seja, todas as frações com numerador inteiro e denominador inteiro não nulo. A relação é definida por:
com
e
.
A pergunta do enunciado é: essa relação é uma relação de equivalência?
A pergunta do enunciado é: essa relação
Passo 2
O que significa “relação de equivalência”? Preciso verificar três propriedades para toda escolha de elementos em
:
- Reflexiva: todo elemento é relacionado consigo mesmo. Em símbolos: para todo
deve valer . - Simétrica: se um elemento
está relacionado com , então está relacionado com . Em símbolos: se então . - Transitiva: se
está relacionado com e está relacionado com , então está relacionado com . Em símbolos: se e então .
Vou checar cada propriedade passo a passo, explicando as contas.
Passo 3
Verificando reflexividade. Pegue um elemento arbitrário
(com
). Pela definição, é preciso ver se
. Como a multiplicação de inteiros é comutativa,
logo
satisfaz a condição
no caso
e
. Portanto
para todo
. Assim a relação é reflexiva.
Passo 4
Verificando simetria. Suponha
. Isso significa, por definição, que
Mas igualdade de inteiros é simétrica:
implica
. Reescrevendo, isso é exatamente
Usando apenas comutatividade da multiplicação,
e
, portanto a igualdade
pode ser escrita como
que é a condição
. Assim vale
. Concluímos que a relação é simétrica.
(Em palavras: se
então trocando os lados da igualdade obtemos a condição necessária para a relação no sentido inverso.)
Passo 5
Verificando transitividade. Suponha
Pela definição isso significa
com
,
,
. Vou combinar essas igualdades para chegar em
, que é a condição para
.
Multiplico a primeira igualdade por
:
Multiplico a segunda igualdade por
:
Juntando as duas igualdades obtemos
Agora
, então posso dividir ambos os lados por
(dividir uma igualdade por um inteiro não nulo preserva a igualdade), e fica
Essa é exatamente a condição
, logo
Portanto a relação é transitiva.
Passo 6
Tendo mostrado que
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que
é uma relação de equivalência em
.
Um comentário intuitivo e útil para a prova: a relação
identifica frações que representam o mesmo número racional. Por exemplo,
porque
e
. As classes de equivalência são exatamente os conjuntos de todas as representações (não necessariamente na forma reduzida) de um mesmo número racional; por exemplo, a classe de
é
que também pode ser descrita como
.
Resposta
Sim. A relação
é uma relação de equivalência (é reflexiva, simétrica e transitiva).