Seja \mathrm{F}\left(\beta, n, e_{\min }, e_{\max }\right) a representação de um sistema de ponto flutuante onde \beta é a base do sistema, n é o número de dígitos da mantissa e e_{\min } e e_{\max } são respectivamente o menor e o maior expoente.
Dado o sistema de ponto flutuante F(2,10,-15,16), obtenha a representação de número de ponto flutuante normalizado para os seguintes números:
(23)_{10}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Sistema de ponto flutuante F(2,10,-15,16):
    • \beta=2 (base binária);
    • n=10 (número de dígitos da mantissa, isto é, número total de bits significativos, incluindo o bit líder);
    • e_{\min}=-15 e e_{\max}=16 (intervalo dos expoentes permitidos).
  • Número a representar: (23)_{10}.
    O pedido: obter a representação normalizada em F(2,10,-15,16) de (23)_{10}.

Passo 2

Converter 23 de decimal para binário (método das divisões sucessivas por 2). Fazer divisões e guardar restos:
\begin{array}{l} 23 \div 2 = 11\\ \text{quociente},\\ \text{resto }1\\\\ 11 \div 2 = 5\\ \text{quociente},\\ \text{resto }1\\\\ 5 \div 2 = 2\\ \text{quociente},\\ \text{resto }1\\\\ 2 \div 2 = 1\\ \text{quociente},\\ \text{resto }0\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{quociente},\\ \text{resto }1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos a representação binária inteira:
(23)_{10} = (10111)_2.

Passo 3

Normalizar a mantissa em base 2: para números normalizados em base 2 o primeiro dígito da mantissa deve ser 1. Escrever 10111_2 como 1.\text{(fração)}\times 2^{e}çã. Mover o ponto binário 4 posições para a esquerda (pois 10111_2 = 1\,0\,1\,1\,1_2 tem 5 dígitos, então o expoente será 4):
(10111)_2 = 1{,}0111_2 \times 2^{4}.
Aqui o expoente é e=4, que está dentro do intervalo permitido -15 \le 4 \le 16.

Passo 4

Ajustar a mantissa ao número de dígitos n=10. Interpretação adotada: n é o total de dígitos significativos (incluindo o dígito líder). Em base 2 o dígito líder é 1, logo há n-1=9 bits fracionários na mantissa normalizada. A mantissa atual tem os 4 bits fracionários 0111; completamos com zeros à direita até ter 9 bits fracionários:
\text{mantissa} = 1{,}0111\underbrace{00000}_{\text{completar até 9 bits}}_2 = 1{,}011100000_2.
Portanto a representação normalizada (com sinal positivo) é
+\,1{,}011100000_2 \times 2^{4}.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular o valor de 1{,}011100000_2 em decimal:
1{,}011100000_2 = 1 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} = 1 + 0 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{16} = 1{,}4375.
Multiplicando por 2^{4}=16:
1{,}4375 \times 16 = 23,
confirmando que a representação está correta e sem necessidade de arredondamento.

Resposta

+1{,}011100000_2 \times 2^{4}

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