a) Encontre uma equação para a parábola que passa pelos pontos dados.
b) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=6,0.
c) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=7,5.
Passo 1
O enunciado fornece três pares (x,y) e pede três coisas:
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
(x,y)=(4,0;\;18,6)
(x,y)=(5,5;\;17,2)
(x,y)=(8,0;\;25,8)
Perguntas:
a) Encontrar uma equação para a parábola que passa pelos três pontos.
b) Estimar y quando x=6,0.
c) Estimar y quando x=7,5.
Passo 2
Qual a forma geral que vamos usar para uma parábola (polinômio de grau 2)?
A forma padrão é
y = ax^{2} + bx + c,
onde a, b e c são constantes que devemos determinar. Aqui:
x é a variável independente (o valor dado na tabela),
y é a variável dependente (o valor dado na tabela),
a controla a curvatura, b a inclinação linear, c o intercepto em x=0.
Passo 3
Substituir cada ponto na forma y=ax^{2}+bx+c para obter um sistema de três equações lineares em a,b,c.
Para (4,0;18,6):
16a + 4b + c = 18,6.
Para (5,5;17,2), como 5,5^{2}=30,25:
30,25a + 5,5b + c = 17,2.
Para (8,0;25,8):
64a + 8b + c = 25,8.
Passo 4
Escrever o sistema completo:
\begin{cases} 16a + 4b + c = 18,6,\\[4pt] 30,25a + 5,5b + c = 17,2,\\[4pt] 64a + 8b + c = 25,8. \end{cases}]
Passo 5
Eliminar c subtraindo a primeira equação das outras duas.
Fazendo (segunda) - (primeira):
(30,25-16)a + (5,5-4)b = 17,2-18,6
ou seja
14,25a + 1,5b = -1,4.
Fazendo (terceira) - (primeira):
(64-16)a + (8-4)b = 25,8-18,6
ou seja
48a + 4b = 7,2.
Passo 6
Simplificar essas duas equações em a e b.
Primeira (simplificada) divide-se por 1,5:
9,5a + b = -\dfrac{1,4}{1,5} = -\dfrac{14}{15}.
Segunda (simplificada) divide-se por 4:
12a + b = 1,8.
Agora temos o sistema:
\begin{cases} 9,5a + b = -\dfrac{14}{15},\\[4pt] 12a + b = 1,8. \end{cases}]
Passo 7
Eliminar b subtraindo a primeira da segunda:
(12-9,5)a = 1,8 - \left(-\dfrac{14}{15}\right).
O lado esquerdo é 2,5a. Para o lado direito, 1,8=\dfrac{9}{5}=\dfrac{27}{15}, então