Considere a tabela:
x y
4,0 18,6
5,5 17,2
8,0 25,8
a) Encontre uma equação para a parábola que passa pelos pontos dados.
b) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=6,0.
c) Faça uma estimativa para o valor de y correspondente a \mathrm{x}=7,5.

Passo 1

O enunciado fornece três pares (x,y) e pede três coisas:
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • (x,y)=(4,0;\;18,6)
    • (x,y)=(5,5;\;17,2)
    • (x,y)=(8,0;\;25,8)
  • Perguntas:
    a) Encontrar uma equação para a parábola que passa pelos três pontos.
    b) Estimar y quando x=6,0.
    c) Estimar y quando x=7,5.

Passo 2

Qual a forma geral que vamos usar para uma parábola (polinômio de grau 2)?
A forma padrão é
y = ax^{2} + bx + c,
onde a, b e c são constantes que devemos determinar. Aqui:
  • x é a variável independente (o valor dado na tabela),
  • y é a variável dependente (o valor dado na tabela),
  • a controla a curvatura, b a inclinação linear, c o intercepto em x=0.

Passo 3

Substituir cada ponto na forma y=ax^{2}+bx+c para obter um sistema de três equações lineares em a,b,c.
Para (4,0;18,6):
16a + 4b + c = 18,6.
Para (5,5;17,2), como 5,5^{2}=30,25:
30,25a + 5,5b + c = 17,2.
Para (8,0;25,8):
64a + 8b + c = 25,8.

Passo 4

Escrever o sistema completo:
\begin{cases} 16a + 4b + c = 18,6,\\[4pt] 30,25a + 5,5b + c = 17,2,\\[4pt] 64a + 8b + c = 25,8. \end{cases}]

Passo 5

Eliminar c subtraindo a primeira equação das outras duas.
Fazendo (segunda) - (primeira):
(30,25-16)a + (5,5-4)b = 17,2-18,6
ou seja
14,25a + 1,5b = -1,4.
Fazendo (terceira) - (primeira):
(64-16)a + (8-4)b = 25,8-18,6
ou seja
48a + 4b = 7,2.

Passo 6

Simplificar essas duas equações em a e b.
Primeira (simplificada) divide-se por 1,5:
9,5a + b = -\dfrac{1,4}{1,5} = -\dfrac{14}{15}.
Segunda (simplificada) divide-se por 4:
12a + b = 1,8.
Agora temos o sistema:
\begin{cases} 9,5a + b = -\dfrac{14}{15},\\[4pt] 12a + b = 1,8. \end{cases}]

Passo 7

Eliminar b subtraindo a primeira da segunda:
(12-9,5)a = 1,8 - \left(-\dfrac{14}{15}\right).
O lado esquerdo é 2,5a. Para o lado direito, 1,8=\dfrac{9}{5}=\dfrac{27}{15}, então
1,8 + \dfrac{14}{15} = \dfrac{27}{15} + \dfrac{14}{15} = \dfrac{41}{15}.
Portanto
2,5a = \dfrac{41}{15}.

Passo 8

Resolver para a:
a = \dfrac{\tfrac{41}{15}}{2,5} = \dfrac{41}{15}\cdot\dfrac{1}{2,5}.
Como 2,5=\dfrac{5}{2}, tem-se
a = \dfrac{41}{15}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{82}{75}.
Valor decimal aproximado: a \approx 1,093333.

Passo 9

Encontrar b usando 12a + b = 1,8:
b = 1,8 - 12a = 1,8 - 12\cdot\dfrac{82}{75}.
Calcular 12\cdot\dfrac{82}{75}=\dfrac{984}{75}=\dfrac{328}{25}=13,12. Então
b = 1,8 - 13,12 = -11,32,
ou em fração
b = -\dfrac{283}{25}.

Passo 10

Determinar c usando a primeira equação 16a + 4b + c = 18,6:
c = 18,6 - 16a - 4b.
Substituindo a=\dfrac{82}{75} e b=-\dfrac{283}{25}:
16a = \dfrac{16\cdot82}{75}=\dfrac{1312}{75},\qquad 4b = 4\cdot\left(-\dfrac{283}{25}\right)=-\dfrac{1132}{25}.
Convertendo tudo para denominador 75:
18,6=\dfrac{1395}{75},\quad -\dfrac{1132}{25}=\dfrac{3396}{75}.
Logo
c = \dfrac{1395}{75} - \dfrac{1312}{75} + \dfrac{3396}{75} = \dfrac{3479}{75}.
Decimal: c \approx 46,386666.

Passo 11

Escrever a equação final da parábola com os coeficientes exatos e aproximados:
y = \dfrac{82}{75}x^{2} - \dfrac{283}{25}x + \dfrac{3479}{75},
ou, em forma decimal aproximada,
y \approx 1,093333\,x^{2} - 11,32\,x + 46,386666.

Passo 12

Estimativa de y em x=6,0.
Usar a forma fracionária para cálculos exatos:
y(6) = \dfrac{82}{75}\cdot 6^{2} - \dfrac{283}{25}\cdot 6 + \dfrac{3479}{75}.
Calcular termo a termo:
6^{2}=36,\quad \dfrac{82}{75}\cdot 36 = \dfrac{2952}{75}=\dfrac{984}{25}=39,36,
-\dfrac{283}{25}\cdot 6 = -\dfrac{1698}{25}=-67,92,
\dfrac{3479}{75}\approx 46,386666\ldots
Somando:
y(6)=39,36 -67,92 +46,386666\ldots = \dfrac{1337}{75}\approx 17,826666\ldots
Arredondando, y(6)\approx 17,8267 (ou 17,83 com duas casas).

Passo 13

Estimativa de y em x=7,5.
Calcular:
y(7,5)=\dfrac{82}{75}\cdot (7,5)^{2} - \dfrac{283}{25}\cdot 7,5 + \dfrac{3479}{75}.
Note que (7,5)^{2}=56,25. Então
\dfrac{82}{75}\cdot 56,25 = 61,5,
-\dfrac{283}{25}\cdot 7,5 = -84,9,
\dfrac{3479}{75}\approx 46,386666\ldots
Somando:
y(7,5)=61,5 -84,9 +46,386666\ldots = \dfrac{1724}{75}\approx 22,986666\ldots
Arredondando, y(7,5)\approx 22,9867 (ou 22,99 com duas casas).

Resposta

a) y=\dfrac{82}{75}x^{2}-\dfrac{283}{25}x+\dfrac{3479}{75}
b) y(6,0)=\dfrac{1337}{75}\approx 17,8267
c) y(7,5)=\dfrac{1724}{75}\approx 22,9867

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