Calcule \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 x} \int_{x^{2}+y^{2}}^{x+y} d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x}\int_{x^{2}+y^{2}}^{\,x+y}dz\,dy\,dx.
O conteúdo é mudança de ordem de integração e cálculo direto de integrais iteradas. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e, por fim, em x.

Passo 2

Integramos em z:
\int_{x^{2}+y^{2}}^{x+y}dz =(x+y)-(x^{2}+y^{2}) = x+y - x^{2} - y^{2}.
Assim a integral vira
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x}\bigl(x+y - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{2x}(x+y - x^{2} - y^{2})\,dy =\int_{0}^{2x}x\,dy +\int_{0}^{2x}y\,dy -\int_{0}^{2x}x^{2}\,dy -\int_{0}^{2x}y^{2}\,dy.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{2x}x\,dy = x\cdot(2x)=2x^{2},\quad \int_{0}^{2x}y\,dy = \tfrac12(2x)^{2}=2x^{2},
\int_{0}^{2x}x^{2}\,dy = x^{2}\cdot(2x)=2x^{3},\quad \int_{0}^{2x}y^{2}\,dy = \tfrac{(2x)^{3}}{3}=\tfrac{8}{3}x^{3}.
Somando:
2x^{2}+2x^{2}-2x^{3}-\tfrac{8}{3}x^{3} =4x^{2}-\tfrac{14}{3}x^{3}.
Então a integral reduz para
\int_{0}^{1}\Bigl(4x^{2}-\tfrac{14}{3}x^{3}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos em x:
\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx = \tfrac{4}{3},\quad \int_{0}^{1}\tfrac{14}{3}x^{3}\,dx = \tfrac{14}{3}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{6}.
Portanto,
\int_{0}^{1}\Bigl(4x^{2}-\tfrac{14}{3}x^{3}\Bigr)\,dx =\tfrac{4}{3}-\tfrac{7}{6} =\tfrac{8}{6}-\tfrac{7}{6} =\tfrac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Exercícios relacionados